merci

Bonjour,
Le but des congruences est de nous faire gagner du temps :
si on sait que \(a\eq b \, mod(n)\), alors \(a^p\eq b^p\,mod(n)\)
Donc si tu sais que \(a\eq 1 \,mod(7)\), alors \(a^6\eq 1^6 \, mod(7)\) donc \(a^6\eq 1\,mod(7)\)
S'il faut le faire autant de fois qu'il y a de possibilités, alors faisons le mais il y a un nombre fini de cas à envisager : donc si on étudie tous les cas alors, on a bien fait une démonstration.
Donc ton travail me semble correct.
Bon courage

oui voilà sauf que là on vient juste de remarquer une périodicté, mais ce n'est pas une démonstration
cette dernière consisterait en une dijonction des cas : avec des entiers de 1 à 6
ce qui donnerait
a congru 1 mod 7 d'où a^6 congru 1 mod 7
a congru 2 mod 7 d'où a^6 congru 2^6 congru 1 mod 7
a congru 3 mod 7 d'où a^6 congru 3^6 congru 1 mod 7
a congru 4 mod 7 d'où a^6 congru 4^6 congru 1 mod 7
a congru 5 mod 7 d'où a^6 congru 5^6 congru 1 mod 7
a congru 6 mod 7 d'où a^6 congru 5^6 congru 1 mod 7

et là normalement c'est bon

donc pour tout a appartenant aux entier naturels non nul on a : a^6 congru 1 mod 7

ah oui, c vrai merci

Bonjour Hyppolite,

Tu as : a^6 congru 729 modulo 7 et 729 = 104*7 + 1 donc a^6 congru 1 modulo 7 (c'est bien le résultat que tu recherches ?)

SoSMath.

oui
si r=3 et a congru 3 modulo 7 d'où a^6 congru 729 modulo 7
et ainsi de suite mais je vois pas où cela peux ammener et à quoi ça sert

Bonsoir Hyppolite,

Comment veux-tu faire une récurrence alors qu'il n'y a pas d'entier n dans ta propriété ?

Pour démontrer cette propriété, je pense qu'il faut utiliser tous les restes possibles de la division de a par 7 ...
1 est un reste possible, donc si \(a\equiv 1 [7]\) alors \(a^6\equiv 1^6 [7]\) soit \(a^6\equiv 1 [7]\)
2 est un reste possible, donc si \(a\equiv 2 [7]\) alors \(a^6\equiv 2^6 [7]\) soit .... à toi de terminer.
etc ...

SoSMath.

Bonjour
j'aimerai savoir si pour démontrer çà:
a : entier naturel non divisible par 7
a^6 congu 1 [7]
je pouvais faire une récurrence en démontrant pour [0 , +l'infinie[ puis pour ]-l'infinie , 0[ la propriété ?
ça donnerai


initialisation : déontrons la prop au rang premier
0^6 congru 1 mod 7 est vraie d'où lorsque a=1 alors a^6 congru 1 mod 7 est vraie

Hérédité : supposons la prop vraie pour un certain rang k, tel que k^6 congru 1 mod 7 soit vraie
Démontrons au rang k+1 telle que (k+1)^6 congru 1 mod soit vraie

(k+1)^6 =k^6+5k^5+10k^4+10k^3+5k^2+5k+1 et 1^6=1
on sait que k^6 congru 1 mod 7
d'où (k+1)^6 congru k^6+5k^5+10k^4+10k^3+5k^2+5k+1 congru 1 +0 modulo 7

conclusion : pour tout a appartenant à z et non divisible par 7 alors a^6congru 1 mod 7

sauf que le problème c'est que ma démonstration est fausse car 5k^5+10k^4+10k^3+5k^2+5k+1 n'est pas divisible par 7

dans ce cas là çà signifit qu'on ne peut pas démontrer la prop par récurrence mais alors comment pourrait-on faire ?