Bonjour,
Ta fonction tangente est définie partout sauf aux points qui annulent le cosinus, c'est-à-dire sur les [tex]x_k=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex] donc elle est définie sur des intervalles du type [tex]\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi\,;\,\frac{\pi}{2}+k\pi\right[[/tex] (le k signifie qu'on se déplace d'un nombre entier de fois [tex]\pi[/tex]). Comme elle est périodique de période [tex]\pi[/tex], on peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur [tex]\pi[/tex], mais tant qu'à faire, autant en prendre un qui ne contient pas de valeur interdite : l'intervalle [tex]\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[[/tex] semble convenir.
Pour utiliser la parité, il faut avoir déterminé au préalable un intervalle symétrique par rapport à 0, ce qui explique pourquoi j'ai choisi [tex]\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[[/tex] : il est bien centré en 0.
Et là, on peut utiliser le fait qu'elle est impaire ce qui "divise" l'intervalle d'étude en 2.
Est-ce plus clair ?
bon courage pour la suite
Sos-math

Bonjour,

Oui, je suis d'accord avec vous dans les deux cas.
Donc on écrit : on peut se contenter d'étudier la fonction tangente sur l'intervalle I =[0;pi/2[ car la fonction tan est impaire, on peut donc l'étudier sur [0; +infini] car il y a une symétrie de l'autre côté de l'origine et car elle est pi-périodique car elle se répète sur [0;pi/2[
Ici,on connaît sa variation sur un de ces intervalles ?

une fonction paire possède un axe de symétrie : l'axe des ordonnées.
une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

es-tu d'accord ?

une fonction [tex]\pi[/tex]-périodique se répète sur chaque intervalle de longueur [tex]\pi[/tex].
si on connaît sa variation sur un de ces intervalles, on peut connaître toutes ses variations par translation...

es-tu d'accord ?

'si la fonction tan est impaire, on peut donc l'étudier sur [0; +infini]', si elle aurait étai paire aussi ?

'si une fonction est pi-périodique, on peut l'étudier sur un intervalle de longueur pi', je ne comprend pas ce que vous voulez dire ?

si la fonction tan est impaire, on peut donc l'étudier sur [tex][0;+\infty [[/tex]

(car il y a une symétrie de l'autre côté...)

si une fonction est[tex]\pi[/tex]-périodique, in peut l'étudier sur un intervalle de longueur [tex]\pi[/tex]

(car elle est identique sur tout intervalle de longueur [tex]\pi[/tex]...)

je te laisse la fin du raisonnement.

bon courage !

Merci, je pense avoir bien compris!
Suite à ces 2 question je dois:' [b]Expliquer pourquoi on peut se contenter d'étudier la fonction tangente sur l'intervalle I =[0;pi/2[[/b] '
On me dit de répondre à l'aide des deux questions que je viens de faire, mais je ne vois pas comment.

Tu viens de démontrer que :

[tex]tan(x + \pi) = tan(x)[/tex]

C'est exactement la définition d'une fonction [tex]\pi[/tex]-périodique !
(Si tu ajoutes [tex]\pi[/tex] à x alors tu obtiens la même image que x par la fonction tan...)

Donc c'est juste.
Tu peux peut-être regarder la définition d'une fonction périodique pour te rassurer ?

Pour la parité de tan, il faut effectivement démontrer que [tex]tan(-x) = -tan(x)[/tex] en utilisant l'égalité : [tex]tan(-x) = \frac{sin(-x)}{cos(-x)}[/tex]... Elle est bien impaire.

A bientôt !

J'ai refait, et je trouve tan(x) est impaire ?
Il suffit de faire tan(-x) = - tan(x) ?

Juste après cette question on me demande [b]demontrer [/b]que la fonction pi-périodique, on ma dit de faire sa:

tan(x+pi) = sin(x+pi)/cos(x+pi)
tan(x+pi) = -sin(x)/-cos(x)
tan(x+pi) = sin(x)/cos(x) = tan(x) .

Mais j'ai pas l'impression de demontrer qu'elle est pi périodique, puisque à la fin on retombe sur tan(x)
Merci beaucoup

Bonjour Clémence,

Tu as lu des propriétés sur les nombres entiers et non sur les fonctions ! Attention !



Pour répondre à ta question, il suffit d'écrire : cos(-x) = ... ; sin(-x) = ..... Donc tan(-x) = .....

De manière générale, si f est impaire et g paire, que peut-on dire de [tex]h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}[/tex] ? ([tex]g(x) \neq 0[/tex])

(Il faut calculer h(-x)...)

Bon courage !

Bonjour,
Je dois étudier la parité de Tan x: sinx/cos x

J'ai vu que sin x était impaire et que cos x était paire
J'ai lu le net que:
pair / impair = pair ;
impair / impair = impair ;
[b]impair / pair n'est jamais un entier ;[/b]
pair / pair peut être pair ou impair.

Ce qui voudrais dire que tan(x) est ni paire, ni impaire ?

Mais quand je regarde les courbe tan(-x)=- tan(x), donc ce qui voudrais dire que tan(x) est impaire.
Je ne vois pas quoi choisir.