Bonsoir Bob,

Comment trouves-tu [tex]\frac{1}{3-U_n}\leq{U_{n+1}[/tex] ?
Je pense que tu as remplacé [tex]u_n[/tex] par [tex]0[/tex], or tu as une inégalité et tu ne peux pas remplacer.
Etudie la fonction définie par [tex]f(x)=\frac{1+x}{3-x}[/tex] pour comparer [tex]u_{n+1 = }f(u_n)[/tex] et [tex]0[/tex] sachant que [tex]u_n[/tex] est supérieur à [tex]0[/tex].

Bon courage

Merci pour votre réponse.
Cependant en respectant votre procédure, je me retrouve avec [tex]\frac{1}{3-U_n}[/tex][tex]\leq[/tex][tex]{U_{n+1}[/tex]...
Ou en partant de [tex]{U_{n+1}[/tex], je trouve [tex]-1\leq[/tex][tex]{U_{n+1}[/tex]
Pourriez vous me guider...?

Bonsoir Bob,

Il faut organiser ton travail, et procéder par étapes.
Tu as deux démonstration à faire : [tex]0 \leq u_n[/tex] pour tout [tex]n[/tex] et [tex]u_n \leq 1[/tex].
Pour la première, [tex]0 \leq u_n[/tex] pour tout [tex]n[/tex] :
- la condition initiale est vérifiée.
- Pour l'hérédité ce n'est pas nécessaire de prendre [tex]k[/tex] puis de poser [tex]n = k[/tex], tu prends directement [tex]n[/tex].
Tu supposes que [tex]u_n[/tex] est positive et tu en déduis que [tex]0 \leq u_{n+1}[/tex] à l'aide de la formule [tex]u_{n+1}= \frac{1 + u_n}{3 - u_n}[/tex].
Pour la seconde, [tex]u_n \leq 1[/tex] pour tout [tex]n[/tex] :
- la condition initiale est vérifiée.
- pour l'hérédité tu suppose que [tex]u_{n+1} \leq 1[/tex] à l'aide de la formule [tex]u_{n+1}= \frac{1 + u_n}{3 - u_n}[/tex].

Bonne continuation

Bonjour à tous!
J'ai aujourd'hui un petit blocage pour finaliser l'hérédité de la démonstration par récurrence de:
0≤Un<1, sachant que la suite Un est définie par U[size=75]0[/size]=0 et U[size=75]n+1[/size]=(Un+1)/(3-Un).

Après avoir posé, k € IR et n=k, je démontre que 0≤U[size=75]k+1[/size]<1. Cependant après avoir fait les simplifications nécessaires, je me retrouve avec (U[size=75]k[/size]-1)/2≤U[size=75]k[/size]<1.
Et là, c'est le drame!

Ma question est donc, est-il correct de dire que, du fait que (Uk+1)/(3-Uk) est croissant sur ]-[size=150]∞[/size];+[size=150]∞[/size][ et que U[size=75]0[/size]=0, alors, 0≤U[size=75]k[/size]<1??? Sinon, comment faire?

Merciii
A bientôt!