C'est exact Antoine !

SoSMath.

Bonjour,
Ah en fait je viens de me rendre compte d'un truc !

Si ce que je dis est vrai, f(1/2) < 0 et f(1) > 0

Donc forcément vu qu'on cherche la solution alpha de (E), elle se situe forcément dans cet intervalle !

Voilà, merci de me dire si j'ai faux ou pas ^^

En vous remerciant,
Antoine

Bonjour,
Oui exactement ^^

D'accord, et par le fait que (E) e^x = 1/x <=> f(x) = 0
Je peux donc affirmer que l'équation (E) admet une unique solution sur IR, c'est bien ça ?

Mon problème c'est que j'aimerais savoir comment le démontrer sur l'intervalle [1/2 ; 1]
J'ai juste par curiosité vu que f(1/2) < 0 et que f(1) > 0

J'imagine que je dois refaire un théorème de la bijection pour montrer qu'il y a une unique solution sur cet intervalle ?
Je ne vois pas trop comment faire sur cet intervalle.


Néanmoins j'ai réussi à trouver alpha, enfin du moins à l'approcher avec ma calculatrice, je trouve 0,567 < alpha < 0,568

Voilà merci encore

Antoine,

tu veux dire que f(x) = x - e^(-x) (et non f') ?
Je comprends mieux ... c'est plus logique pour la suite de l'exercice !

(E) e^x = 1/x <=> f(x) = 0 d'après la question 1 ....
Donc tu as bien ton équation du genre "f(x) = 0" !

SoSMath.

Bonjour,
Bon je suis vraiment pas doué, en fait dans l'énoncé, f'(x) = x - e^(-x)

D'où le fait que je trouve 1 + e^(-x) à ma dérivée, et que par conséquent elle est croissante sur IR.


Et bien les conditions pour utiliser ce théorème, c'est bien d'avoir une fonction continue (ici c'est le cas), et strictement monotone n'est-ce pas ?

En plus cette fonction est strictement croissante sur IR donc elle admet forcément une solution sur IR
Moi ce que je ne comprends pas, c'est qu'on a pas une équation du genre "f(x) = 0"

Car là elle a une solution sur IR... Mais une solution de quoi ?
Je comprends vraiment pas...

Antoine,

Ta dérivée est toujours fausse .... rappel : \((e^{u})^,=....\) (voir ton cours !).

Ensuite avant d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires il faut vérifier les conditions d'utilisation .... (voir ton cours !).

SoSMath.

Bonjour,
Ah oui en effet je me suis planté dans la dérivée.

Maintenant je trouve f'(x) = e^(-x) (x + 1)


b. En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur IR notée alpha
Comment je peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur une telle fonction ?

J'ai pas quelque chose de la forme g(x) = k nan ? oO
Car ce que j'ai fait en cours, j'utilisais ce théorème lorsque g(x) = 0 par exemple et ensuite on trouvait alpha...

Mais là, comment je peux faire sachant qu'on me dit pas la droite d'équation recherchée ?

Bonjour Antoine,

Question 2 :
* Ta dérivée est fausse ... tu as f = uv donc f ' = u'v+uv' ....
* Pour répondre à la question 2b, il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Question 3 : c'est la même question que le 2b, sauf qu'ici on restreint l'intervalle à [1/2 ; 1].
Question 4 : il faut utiliser le tableau de valeurs de f de ta calculatrice ou un programme de dichotomie.

SoSMath.

Bonjour,
J'ai un exercice concernant la fonction exponentielle et les équations différentielles que je ne comprends pas très bien...

"Le but de cet exercice est de montrer que l'équation (E) : e^x = 1 / x admet une unique solution dans IR.
On note f la fonction sur IR par f(x) = x e^(-x)"

1. Démontrer que si x est solution de (E) si et seulement si f(x) = 0
f(x) = 0
<=> x - e^(-x) = 0
<=> x = e^(-x)
<=> 1 / x = e^(x)
<=> Donc x est solution de (E)


2. a. Etudier le sens de variation de la fonction f sur IR
Dérivée de f c'est 1 + e^(-x)
Donc f est strictement croissante sur IR

b. En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur IR notée alpha
Là je ne comprends pas comment je dois procéder ?


3. Démontrer que alpha appartient à [1/2 ; 1]
De même je ne sais pas comment faire ici


4. Donner une valeur approchée de alpha à 10^-3 près
Pareil, j'imagine qu'avec la réponse aux questions d'avant ce sera plus facile ^^


Voilà, merci si jamais vous pouvez m'aider, j'avoue que je suis un peu coincé --'

Antoine