par sos-math(21) » jeu. 13 oct. 2022 12:10
Bonjour,
Tu peux commencer par écrire la définition du coefficient binomial sous forme de factorielles :
tu as \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
On te dit d'utiliser l'inégalité \(k!\geqslant 2^{k-1}\) ce qui donne en prenant l'inverse (opération décroissante qui change l'ordre de l'inégalité) :
\(\dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{1}{2^{k-1}}\)
donc \(\dfrac{\binom{n}{k}}{n^k}=\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{2^{k-1}}\)
Il reste à étudier la fraction : \(\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\ldots\times 2\times 1}{n\times n\times n\times (n-k)\times (n-k-1)\ldots\times 1}=\underbrace{\dfrac{n}{n}\times \dfrac{n-1}{n}\times \ldots\times\dfrac{n-k+1}{n}}_{\text{fractions inférieures à 1}}\times\underbrace{ \dfrac{n-k}{n-k}\times\dfrac{2}{2}\times \dfrac{1}{1} }_{\text{fractions égales à 1}}\)
On peut donc écrire cette fractions comme un produit de fractions de valeurs décimales inférieures ou égales à 1 donc cette fraction est inférieure ou égale à 1, ce qui montre la première inégalité.
Pour la deuxième question, cette somme est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac{1}{2}\). Tu as donc une formule te donnant cette somme :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+ \ldots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\)
Comme le dénominateur est égal à \(\dfrac{1}{2}\), on a \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\)
Je te laisse réfléchir à ce que je t'ai transmis et tu dois désormais pouvoir t'en sortir seul sur cet exercice qui n'est pas simple du tout.
Bonne continuation
Bonjour,
Tu peux commencer par écrire la définition du coefficient binomial sous forme de factorielles :
tu as \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
On te dit d'utiliser l'inégalité \(k!\geqslant 2^{k-1}\) ce qui donne en prenant l'inverse (opération décroissante qui change l'ordre de l'inégalité) :
\(\dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{1}{2^{k-1}}\)
donc \(\dfrac{\binom{n}{k}}{n^k}=\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{2^{k-1}}\)
Il reste à étudier la fraction : \(\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\ldots\times 2\times 1}{n\times n\times n\times (n-k)\times (n-k-1)\ldots\times 1}=\underbrace{\dfrac{n}{n}\times \dfrac{n-1}{n}\times \ldots\times\dfrac{n-k+1}{n}}_{\text{fractions inférieures à 1}}\times\underbrace{ \dfrac{n-k}{n-k}\times\dfrac{2}{2}\times \dfrac{1}{1} }_{\text{fractions égales à 1}}\)
On peut donc écrire cette fractions comme un produit de fractions de valeurs décimales inférieures ou égales à 1 donc cette fraction est inférieure ou égale à 1, ce qui montre la première inégalité.
Pour la deuxième question, cette somme est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac{1}{2}\). Tu as donc une formule te donnant cette somme :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+ \ldots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\)
Comme le dénominateur est égal à \(\dfrac{1}{2}\), on a \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\)
Je te laisse réfléchir à ce que je t'ai transmis et tu dois désormais pouvoir t'en sortir seul sur cet exercice qui n'est pas simple du tout.
Bonne continuation