Exercice Binôme de Newton

[Vianney]

Bonjour je m'appelle Vianney en Terminale Maths Physique Chimie,
J'ai un Dm à rendre pour dans deux jours, mais un des exercice m'empêche de le conclure...
C'est un exercice sur le binôme de Newton, que je n'arrive pas à complété. (Aucune des questions)
Je laisse l'énoncé en pièce jointe du fait de la difficulté à tapper certain caractère.
Merci d'avance pour se qui me fourniront de l'aide.🙏

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu peux commencer par écrire la définition du coefficient binomial sous forme de factorielles :
tu as $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
On te dit d'utiliser l'inégalité $k!\geqslant 2^{k-1}$ ce qui donne en prenant l'inverse (opération décroissante qui change l'ordre de l'inégalité) :
$\dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{1}{2^{k-1}}$
donc $\dfrac{\binom{n}{k}}{n^k}=\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{2^{k-1}}$
Il reste à étudier la fraction : $\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\ldots\times 2\times 1}{n\times n\times n\times (n-k)\times (n-k-1)\ldots\times 1}=\underbrace{\dfrac{n}{n}\times \dfrac{n-1}{n}\times \ldots\times\dfrac{n-k+1}{n}}_{\text{fractions inférieures à 1}}\times\underbrace{ \dfrac{n-k}{n-k}\times\dfrac{2}{2}\times \dfrac{1}{1} }_{\text{fractions égales à 1}}$
On peut donc écrire cette fractions comme un produit de fractions de valeurs décimales inférieures ou égales à 1 donc cette fraction est inférieure ou égale à 1, ce qui montre la première inégalité.
Pour la deuxième question, cette somme est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\dfrac{1}{2}$. Tu as donc une formule te donnant cette somme :
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+ \ldots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}$
Comme le dénominateur est égal à $\dfrac{1}{2}$, on a $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$
Je te laisse réfléchir à ce que je t'ai transmis et tu dois désormais pouvoir t'en sortir seul sur cet exercice qui n'est pas simple du tout.
Bonne continuation

[Vianney]

Merci infiniment j'espère pouvoir m'en sortir avec sa 💪🙏

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour le calcul de $S_n$, c'est l'application du binôme de Newton mais si tu n'as pas le droit de l'utiliser, on peut s'en sortir avec une récurrence (voir cette vidéo par exemple : https://youtu.be/raWJysLaIsU)
Bonne continuation