par sos-math(21) » ven. 29 mai 2020 21:58
Bonjour,
le corrigé s'appuie sur la notion de pgcd et de ppcm. Si \(d=pgcd(a,b)=a\wedge b\) alors il existe deux entiers naturels \(a'\) et \(b'\) premiers entre eux tels que \(a=da'\) et \(b=db'\) : c'est le principe du pgcd qui prend le plus grand dénominateur commun aux deux entiers et qui laisse les deux entiers \(a'\) et \(b'\) sans diviseur commun donc premiers entre eux \(a'\wedge b'=1\).
Ensuite il existe une propriété qui relie le pgcd et le ppcm de deux entiers : leur produit est égal à celui de \(a\) par \(b\) :
\(ab=d\times m\) donc en en remplaçant par \(a\) par \(da'\) et \(b\) par \(db'\), on a \(dm=ab=da'db'\) soit en simplifiant par \(d\), \(m=da'b'\).
Donc on remplace ensuite l'expression de \(m\) dans la relation donnée en hypothèse \(14m+13d=2012\), qui devient \(14da'b'+13d=2012\) on peut ensuite factoriser par \(d\) \(d(14a'b'+13)=2012\) ce qui signifie que \(d|2012\).
Comme on a montré plus haut que \(d\) valait 2 ou 4, on raisonne ensuite par disjonction de cas en étudiant l'hypothèse \(d=2\), ce qui permet de simplifier la relation précédente par 2, et on a \(14a'b'+13=1006\) puis en isolant le produit \(a'b'\) qui est un produit de deux entiers et qui doit donc être entier, on a \(a'b=\dfrac{1006}{13}\) qui n'est pas un entier, donc on aboutit à quelque chose de faux, donc par l'absurde, on en déduit que \(d\) ne peut pas être égal à 2 donc \(d=4\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Bonjour,
le corrigé s'appuie sur la notion de pgcd et de ppcm. Si \(d=pgcd(a,b)=a\wedge b\) alors il existe deux entiers naturels \(a'\) et \(b'\) premiers entre eux tels que \(a=da'\) et \(b=db'\) : c'est le principe du pgcd qui prend le plus grand dénominateur commun aux deux entiers et qui laisse les deux entiers \(a'\) et \(b'\) sans diviseur commun donc premiers entre eux \(a'\wedge b'=1\).
Ensuite il existe une propriété qui relie le pgcd et le ppcm de deux entiers : leur produit est égal à celui de \(a\) par \(b\) :
\(ab=d\times m\) donc en en remplaçant par \(a\) par \(da'\) et \(b\) par \(db'\), on a \(dm=ab=da'db'\) soit en simplifiant par \(d\), \(m=da'b'\).
Donc on remplace ensuite l'expression de \(m\) dans la relation donnée en hypothèse \(14m+13d=2012\), qui devient \(14da'b'+13d=2012\) on peut ensuite factoriser par \(d\) \(d(14a'b'+13)=2012\) ce qui signifie que \(d|2012\).
Comme on a montré plus haut que \(d\) valait 2 ou 4, on raisonne ensuite par disjonction de cas en étudiant l'hypothèse \(d=2\), ce qui permet de simplifier la relation précédente par 2, et on a \(14a'b'+13=1006\) puis en isolant le produit \(a'b'\) qui est un produit de deux entiers et qui doit donc être entier, on a \(a'b=\dfrac{1006}{13}\) qui n'est pas un entier, donc on aboutit à quelque chose de faux, donc par l'absurde, on en déduit que \(d\) ne peut pas être égal à 2 donc \(d=4\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
