par sos-math(21) » dim. 24 mai 2020 07:56
Bonjour,
je ne comprends pas trop ce que tu entends par sens de la formule du changement de variable : le choix de ton changement de variable est dicté par la forme de ton expression, ce qui impose de fait le "sens" de la formule. En revanche, il faut effectivement que tu puisses facilement avoir la version réversible de ce changement de variable pour calculer les bornes et la dérivée :
par exemple pour l'intégrale \(I=\displaystyle \int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^2}dt\), on fait le changement de variable \(t=\sin(u)\) alors
- si \(t=-1\) alors \(\sin(u)=-1\) soit \(u=arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\)
- si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(\sin(u)=\frac{1}{2}\) soit \(u=arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}\)
- \(dt=\cos(u)du\)
donc on a \(I=\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/6}|\cos(u)|\cos(u)du= \int_{-\pi/2}^{\pi/6}\cos^2(u)du=\dfrac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/6}(1+\cos(2u))du=\left [\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin(2x)\right]_{-\pi/2}^{\pi/6}=\ldots\)
Bonne continuation
Bonjour,
je ne comprends pas trop ce que tu entends par sens de la formule du changement de variable : le choix de ton changement de variable est dicté par la forme de ton expression, ce qui impose de fait le "sens" de la formule. En revanche, il faut effectivement que tu puisses facilement avoir la version réversible de ce changement de variable pour calculer les bornes et la dérivée :
par exemple pour l'intégrale \(I=\displaystyle \int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^2}dt\), on fait le changement de variable \(t=\sin(u)\) alors
[list]
[*] si \(t=-1\) alors \(\sin(u)=-1\) soit \(u=arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\)
[*]si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(\sin(u)=\frac{1}{2}\) soit \(u=arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}\)
[*]\(dt=\cos(u)du\)[/list]
donc on a \(I=\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/6}|\cos(u)|\cos(u)du= \int_{-\pi/2}^{\pi/6}\cos^2(u)du=\dfrac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/6}(1+\cos(2u))du=\left [\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin(2x)\right]_{-\pi/2}^{\pi/6}=\ldots\)
Bonne continuation
