par Patrick » mer. 23 oct. 2013 16:08
Bonjour,
Un petit problème sur le thème de l'étude de la factorisation d'un polynôme associé à l'utilisation de sa dérivée.
MERCI pour la vérification de la logique, un gros morceau pour moi.
On dit qu'un polynôme \(P\) est factorisable par \((x-a)^2\) s'il existe un polynôme \(R\) tel que : \(P(x)=(x-a)^2R(x)\)
On admettra que pour tout polynôme \(P\text{ et }\forall a\in\mathbb{R}\), il existe un polynôme \(Q\) tel que : \(P(x)= P(a)+(x-a)Q(x)\)
- 1) Démontrer que : \(P'(a)= Q(a),\)
- 2) En déduire que \(P\) est factorisable par \((x-a)^2\) SI et seulement SI \(P(a)=P'(a)=0,\)
- 3) Soit \(P(x)=n x^{n+1}-(n+1)x^n +1,\) montrer que \(P\) se factorise par \((x-1)^2.\)
_______________________________________________________________
- 1°) Pour le calcul de la dérivée, on dérive les deux membres de :
\(P(x)= P(a)+(x-a)Q(x)\) avec \(P(a)\) un nombre, donc \(P'(a)=0\),
\(P'(x)=[P(a)]'+[(x-a)Q(x)]'=0+(x-a)Q'(x)+1\times Q(x)\)
Maintenant, dans cette expression, remplaçons \(x\) par la valeur \(a\) :
\(P'(a)=(a-a)Q'(a)+Q(a)=Q(a),\) CQFD.
- 2°) De fait, cela revient à démontrer une équivalence :
- \(A)\) L'implication directe :
\(P(x)=(x-a)\times R(x)\ \Rightarrow\ P(a)=0,\)
\(P'(x)=2\times(x-a)R(x)+(x-a)^2R'(x)\quad\Rightarrow\quad P'(a)=0,\) car \((x-a)\) se factorise.
- \(B)\) L'implication réciproque :
\(P(a)=P'(a)=0\quad\Rightarrow\quad P(x)=(x - a)Q(x)\ \Rightarrow\ P'(x)=Q(x)+(x-a)Q'(x)\)
\(Q\) est un polynôme qui s'exprime ainsi : \(Q(x)=Q(a)+(x-a)Q'(x)\)
Puisque \(P'(a)=Q(a)=0,\) si on pose \(Q'(x)=R(x),\) il s'en suit :
\(Q(x)=Q(a)+(x-a)Q'(x)=(x-a)R(x)\ \Rightarrow\ P(x)=(x-a)^2R(x).\)
C'est démontré : \(\Big(P\)factorisable par \((x-a)^2\Big)\quad\Longleftrightarrow\quad\Big(P(a)=P'(a)=0\Big).\)
- 3°) Ce cas est une application des résultats précédents :
\(P(1)=n\times 1^{n+1}-(n+1)\times 1^n+1=0\)
\(P'(x)=n(n+1)x^n-n(n+1)x^{n-1}=n(n+1)(x^n-x^{n-1})\)
\(P'(1)=n(n+1)(1^n-1^{n-1})=0\)
Finalement, on vient de démontrer que :
\((P(1)=P'(1)=0)\quad\Longleftrightarrow\quad P\) est factorisable par \((x-1)^2.\)
J'attends vos remarques,
@+
Bonjour,
Un petit problème sur le thème de l'étude de la factorisation d'un polynôme associé à l'utilisation de sa dérivée.
MERCI pour la vérification de la logique, un gros morceau pour moi.
On dit qu'un polynôme [tex]P[/tex] est factorisable par [tex](x-a)^2[/tex] s'il existe un polynôme [tex]R[/tex] tel que : [tex]P(x)=(x-a)^2R(x)[/tex]
On admettra que pour tout polynôme [tex]P\text{ et }\forall a\in\mathbb{R}[/tex], il existe un polynôme [tex]Q[/tex] tel que : [tex]P(x)= P(a)+(x-a)Q(x)[/tex]
- 1) Démontrer que : [tex]P'(a)= Q(a),[/tex]
- 2) En déduire que [tex]P[/tex] est factorisable par [tex](x-a)^2[/tex] SI et seulement SI [tex]P(a)=P'(a)=0,[/tex]
- 3) Soit [tex]P(x)=n x^{n+1}-(n+1)x^n +1,[/tex] montrer que [tex]P[/tex] se factorise par [tex](x-1)^2.[/tex]
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- 1°) Pour le calcul de la dérivée, on dérive les deux membres de :
[tex]P(x)= P(a)+(x-a)Q(x)[/tex] avec [tex]P(a)[/tex] un nombre, donc [tex]P'(a)=0[/tex],
[tex]P'(x)=[P(a)]'+[(x-a)Q(x)]'=0+(x-a)Q'(x)+1\times Q(x)[/tex]
Maintenant, dans cette expression, remplaçons [tex]x[/tex] par la valeur [tex]a[/tex] :
[tex]P'(a)=(a-a)Q'(a)+Q(a)=Q(a),[/tex] CQFD.
- 2°) De fait, cela revient à démontrer une équivalence :
- [tex]A)[/tex] L'implication directe :
[tex]P(x)=(x-a)\times R(x)\ \Rightarrow\ P(a)=0,[/tex]
[tex]P'(x)=2\times(x-a)R(x)+(x-a)^2R'(x)\quad\Rightarrow\quad P'(a)=0,[/tex] car [tex](x-a)[/tex] se factorise.
- [tex]B)[/tex] L'implication réciproque :
[tex]P(a)=P'(a)=0\quad\Rightarrow\quad P(x)=(x - a)Q(x)\ \Rightarrow\ P'(x)=Q(x)+(x-a)Q'(x)[/tex]
[tex]Q[/tex] est un polynôme qui s'exprime ainsi : [tex]Q(x)=Q(a)+(x-a)Q'(x)[/tex]
Puisque [tex]P'(a)=Q(a)=0,[/tex] si on pose [tex]Q'(x)=R(x),[/tex] il s'en suit :
[tex]Q(x)=Q(a)+(x-a)Q'(x)=(x-a)R(x)\ \Rightarrow\ P(x)=(x-a)^2R(x).[/tex]
C'est démontré : [tex]\Big(P[/tex]factorisable par [tex](x-a)^2\Big)\quad\Longleftrightarrow\quad\Big(P(a)=P'(a)=0\Big).[/tex]
- 3°) Ce cas est une application des résultats précédents :
[tex]P(1)=n\times 1^{n+1}-(n+1)\times 1^n+1=0[/tex]
[tex]P'(x)=n(n+1)x^n-n(n+1)x^{n-1}=n(n+1)(x^n-x^{n-1})[/tex]
[tex]P'(1)=n(n+1)(1^n-1^{n-1})=0[/tex]
Finalement, on vient de démontrer que :
[tex](P(1)=P'(1)=0)\quad\Longleftrightarrow\quad P[/tex] est factorisable par [tex](x-1)^2.[/tex]
J'attends vos remarques,
@+
