Bonjour Patrick,

Il y a une erreur dans tes implications ...
x²+y²+2xy = 1 ==> xy = 1/2(1 - x² - y²) et non 1/2(x² + y² -1) !


SoSMath.

Quelque chose me "chagrine" encore avec cet exercice !
Peut-on effectuer chaque démonstration en prenant pour hypothèse la véracité de l'autre résultat ?
En effet, dans ce cas là, chaque démonstration dépend de l'autre. C'est possible/juste logiquement ?
[tex]x+y=1\quad\Longrightarrow\quad(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 1.[/tex]

[tex]x^2 + y^2 + 2xy = 1\quad\Longrightarrow\quad xy = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 - 1)[/tex],
- Si on a [tex]xy\leq \frac{1}{4}[/tex] on voit que [tex]x^2+y^2-1\leq \frac{1}{2}[/tex], c-a-d [tex]x^2+y^2\geq \frac{1}{2}.[/tex]

- Si on a [tex]x^2+y^2\geq \frac{1}{2}[/tex] avec [tex]x^2+y^2=1-2xy\quad\Longrightarrow\quad 1-2xy\ge\frac{1}{2},[/tex]
c-a-d [tex]\ -2xy\ge-\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad xy\le\frac{1}{4}.[/tex]

Merci et @+

Bonjour Patrick,

Tu ne peux pas soustraire membre à membre deux inégalités ... tu peux seulement ajouter son opposé (ce qui change l'ordre !).
Exemple : 2 < 5 et 3 < 7.
on obtient -3 > -7 soit -7 < -3.
On additionne alors membre à membre avec 2 < 5, soit 2+(-7) < 5+(-3) soit -5 < 2.
Remarque que si tu avais soustrait les deux inégalités tu aurais obtenu -1 < -2 ce qui est faux !

SoSMath.

Et allez, une bourde de plus. Mais en ce qui me concerne, l'optimisme est de rigueur :
"tout va très bien Mme la Marquise" LOL !

Ok, je (re)pars de : [tex]\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{x^2 + y ^2}{(xy)^2}=(x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}.[/tex]
[tex]xy\le\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\le\dfrac{1}{xy}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\dfrac{1}{xy}\right)^2 \ge16\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{(xy)^2} \ge 16[/tex]
Ces deux inégalités sont rangées dans le même sens et tous les nombres sont positifs :
[tex](x^2+y^2)\ge \dfrac{1}{2}\quad\text{ et }\quad\dfrac{1}{(xy)^2}\ge 16[/tex]
J'ose effectuer une multiplication membre à membre :
[tex](x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}\ge 16\times\dfrac{1}{2}(=8)[/tex] ?

[tex](x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}\ge 8\quad\Longleftrightarrow\quad(x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}+4\ge 12\quad\Longleftrightarrow\quad(x^2+y^2)+(x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}+4\ge 12+\dfrac{1}{2}[/tex]
Non, mais je me pince : [tex]12+\dfrac{1}{2}=\dfrac{25}{2}[/tex] !

Dans tous les cas, MERCI à tous ceux qui se sont repassés le dossier !
@micalement.

PS : Dans mon premier post, j'ai posé une question sur la régularité d'une soustraction membre à membre, alors ?

Bonjour,

Il y a une erreur dans ta première égalité :

[tex]\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{(1-x)^2} =...[/tex] Mais ce n'est pas le chemin le plus simple....

Tu as l'égalité :

[tex](x + \dfrac{1}{x})^2 + (y + \dfrac{1}{y})^2 = x^2 + y ^2 + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + 4[/tex].

Tu sais aussi que [tex]x^2 + y ^2 \geq \dfrac{1}{2}[/tex]

Deux possibilités :

Démontre que [tex]\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{x^2 + y ^2}{(xy)^2}[/tex] puis utilise le a) ou,

Essaye de partir du fait que x et y sont compris strictement entre 0 et 1 pour aboutir à :

[tex]\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} \geq 2[/tex]

Bonne journée !

Bonsoir,

Ok merci pour les encouragements :-)
Je viens de me rendre compte que le calcul de ma factorisation est fausse, mais bon continuons...
[tex]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{1-x^2}=\dfrac{1}{x^2(1-x^2)}[/tex]
Avec [tex]x\ge 0\quad\Longrightarrow\quad 0\le x^2(1-x^2)<1\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{x^2(1-x^2)}>1.[/tex]
Donc, j'en déduis que : [tex]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}>1[/tex] Mais, une petite étude de la dérivée de : [tex]x^2(1-x^2)[/tex]
me permet de déduire que la valeur maximale est [tex]\dfrac{sqrt{2}}{2}\approx 0.707\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{x^2(1-x^2)}\approx 1.414[/tex]
Au final j'ai : [tex](x^2+y^2)+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+4\approx 0.707+1.414+4=6,121<\dfrac{25}{4}=6.25[/tex]
Il me manque des billes !

@+

Mais je crois que tu oublies que x+y=1 et que x et y sont positifs.

En tout cas bravo, car je ne connais pas beaucoup d'élèves qui mèneraient à bien ces calculs sans se décourager.

D'abord merci pour la réponse !
[quote="SoS-Math(4)"]Je découvre le sujet;
Votre calcul me semble un peu compliqué, je propose :
[tex](x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2=(x^2+y^2)+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+4[/tex][/quote]Ah oui, un simple développement pour avoir une somme. Ceci dit, J'ai du mal à voir la forme la plus appropriée pour répondre à une question. J'ai factorisé pensant que ce serait plus simple pour la suite...[quote]les termes [tex]\frac{1}{x^2}[/tex] et [tex]\frac{1}{y^2}[/tex] sont tous deux strictement plus grand que 1, car.(à justifier)...[/quote]Si je prend [tex]x=1[/tex] et [tex]y=\dfrac{1}{4}[/tex], les deux inégalités (démontrée à la 1ère question) sont vérifiées, mais je n'ai pas [tex]\frac{1}{x^2}>1[/tex] ET [tex]\frac{1}{y^2}>1[/tex] ?
J'essaye bien de tirer profit de la somme, mais je n'arrive pas à conclure...

@+
PS : cet exercice n'est pas un DM.

Bonjour ,

Je découvre le sujet;
Votre calcul me semble un peu compliqué, je propose :
[tex](x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2=(x^2+y^2)+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+4[/tex]


les termes [tex]\frac{1}{x^2}[/tex] et [tex]\frac{1}{y^2}[/tex] sont tous deux strictement plus grand que 1, car.(à justifier).....................

donc ...

Bon courage

sosmaths

Merci pour la réponse. On y go, mais je ne connais pas d'astuces pour raccourcir les calculs...
[tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\dfrac{(x^2+1)^2}{x^2}+\dfrac{(y^2+1)^2}{y^2}=\dfrac{\left(y(x^2+1)\right)^2+\left(x(y^2+1)\right)^2}{x^2y^2}=\dfrac{(yx^2+y)^2+(xy^2+x)^2}{x^2y^2}[/tex]
Compte tenu que : [tex]x+y=1[/tex], commençons par développer le numérateur :
[tex](yx^2+y)^2+(xy^2+x)^2=x^4y^2+2\times 2x^2y^2+y^2+x^2y^4+x^2=x^2y^2(x^2+y^2+4)+x^2+y^2[/tex]
[tex]=x^2y^2\left((x+y)^2-2xy+4\right)+(x+y)^2-2xy=x^2y^2\left(5-2xy\right)+1-2xy=x^2y^2(5-2xy)+(5-2xy)-4[/tex]
[tex]=(5-2xy)(x^2y^2-4)=(5-2xy)(xy-2)(xy+2).[/tex]
Donc on a : [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\dfrac{(5-2xy)(xy-2)(xy+2)}{x^2y^2}[/tex]
J'espère que c'est juste ? Ensuite, je ne voie pas comment conclure pour la minoration...
Merci d'avance pour votre aide,

@+

Bonsoir Patrick,

Pour minorer cette expression, il va falloir développer [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2[/tex]. Les résultats de la première question vont alors te permettre de finaliser cette minoration.

Bonne continuation.

Ce que je ne vois pas, c'est comment utiliser les résultats de la 1ère question pour démontrer ceux de la 2ème ?
Je crois que le développement de : [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2[/tex] n'est pas nécessaire...
Peut être débuter par un encadrement ?

@+

La minoration par 25/2 est meilleure que celle par 25/4, et c'est celle qui est correcte, à condition que x et y soient tous les deux strictement positifs. Ce qui donne une piste pour la démonstration.

Merci beaucoup pour la réponse. Une erreur dans l'énoncé c'est toujours possible...
Et comment on arrive à ce résultat : [tex]\frac{50}{4}=\frac{25}{2}[/tex] ?

@+

Bonsoir,
Si on a x+y=1, alors x=1-y
On peut d'abord montrer [tex]xy\leq \frac{1}{4}[/tex]
c'est équivalent à l'inégalité [tex]4xy-1\leq 0[/tex], soit [tex]4y(1-y)-1\leq 0[/tex]
Or on a [tex]4y(1-y)-1=-4y^2+4y-1=-[(2y)^2-4y+1]=-(2y-1)^2\leq 0[/tex]
Une fois qu'on a montré cela on peut trouver l'autre :
[tex]xy\leq \frac{1}{4}[/tex] est équivalente à [tex]{-}2xy\geq \frac{-1}{2}[/tex]
donc [tex]x+y=1[/tex] implique [tex](x+y)^2=1[/tex] soit [tex]x^2+y^2=1-2xy\geq 1-\frac{1}{2}[/tex] donc [tex]x^2+y^2\geq \frac{1}{2}[/tex]
Pour la deuxième je n'ai qu'une minoration par [tex]\frac{50}{4}=\frac{25}{2}[/tex]. Y a-t-il une erreur d'énoncé ?
Bon courage