Décomposer en produit de facteurs premiers

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Raphaël

Décomposer en produit de facteurs premiers

Message par Raphaël » mer. 7 sept. 2022 15:19

Bonjour, j'ai déjà un devoir maison et il y a une consigne dont le sens en est totalement dénué pour moi.
Il y est dit "décomposer 260 et 90 en produis de facteurs premiers"
Est-ce-que quelqu'un pourrait m'aider S'il vous plaît
sos-math(21)
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Re: Décomposer en produit de facteurs premiers

Message par sos-math(21) » mer. 7 sept. 2022 15:48

Bonjour,
Un nombre premier est un entier qui admet pour seuls diviseurs 1 et lui-même : ce sont un peu comme des nombres élémentaires, que l'on ne peut pas décomposer.
Il faut connaitre la liste des premiers nombres premiers : il y en a 25 entre 1 et 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Une propriété mathématique affirme que tout nombre entier peut se décomposer de manière unique (à l'ordre près des facteurs) comme un produit de nombres premiers.
Par exemple, le nombre 9310 se décompose comme \(9310=2\times 5\times 7^2\times 19\)
Pour décomposer un nombre en produits de facteurs premiers, on suit l'algorithme suivant :
  • on teste la divisibilité par le premier nombre premier 2 autant de fois que cela fonctionne \(260\div 2=130\) : 1 facteur 2
  • on recommence avec le quotient : \(130\div 2=65\), on a un deuxième facteur 2 et c'est le dernier car \(65\) n'est pas divisible par 2
  • On teste ensuite la divisibilité du quotient par le nombre premier suivant 3 : 65 n'est pas divisible par 3
  • On passe au nombre premier suivant \(5\) : \(65\div 5\) = 13, on a donc un facteur 5
  • le quotient 13 est un nombre premier donc on a terminé la décomposition
On a donc \(260=2\times 2\times 5\times 13\)
Les calculatrices de type Casio fx-92 le font très bien. Tu peux regarder cette vidéo pour l'utiliser : https://youtu.be/bC7D1KVk5HQ?t=1
Bon calcul
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