limite d'une suite

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sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » sam. 6 mars 2021 17:56

Bonjour,
je ne comprends pas trop ces messages : Invité cite un message d'Invité ?
C'est la même personne derrière ou bien y-a-t-il deux interventions distinctes ?
Quoiqu'il en soit, 1 est bien la limite de la suite \((U_n)\) et le fait que \(f_n(1)\) soit différent de 0 n'a pas forcément de rapport avec la suite car le passage à la limite dans \(f_n(U_n)=0\) n'est pas licite : on aborde des limites de suites de fonctions et là, c'est bien plus délicat.
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite (suite)

Message par Invité » sam. 6 mars 2021 19:17

Invité a écrit :
sam. 6 mars 2021 16:54
Invité a écrit :
sam. 6 mars 2021 11:47
Bonjour , j'étais entrain de rédiger une dernière question sur le sujet " limite d'une suite" avant de persuader que le sujet en question est verrouillé, voici ma question svp
Il reste la dernière question de l'exercice de déterminer la limite de la suite \((U_{n})\); d'accord on sait qu'elle est convergente et que c'est clair que la limite vaut 1 mais comment la démontrer SVP ? autrement dit comment calculer \(\lim_{}U_{n}\) ?
Bonjour,
1 n'est pas la limite de (Un) car f(l=1)--->1 au lieu de 0.
Non, désolé la limite de Un est bien 1: vous confondez la limite de Un qui est l et la VALEUR de Un= l - h avec h tend vers 0 quand n tend vers +l'infini.
D'ailleurs, il suffit de prendre h=1/(n+2) pour prouver que f(Un -h) tend bien vers 0 mais non 1 .
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » sam. 6 mars 2021 21:52

Bonjour,
Est ce que la personne qui a posté le sujet initial a trouvé une réponse qui lui satisfait parmi les réponses modérées ?
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » dim. 7 mars 2021 08:40

sos-math(21) a écrit :
sam. 6 mars 2021 21:52
Bonjour,
Est ce que la personne qui a posté le sujet initial a trouvé une réponse qui lui satisfait parmi les réponses modérées ?
Bonne continuation
Bonjour, oui c'est moi l'auteur de ce sujet et je suis entièrement d'accord avec vous sans aucun doute \(\lim_{}U_{n}=1\)
mais je ne trouve toujours pas comment la démontrer par l'absurde, j'ai essayé plusieurs combinaisons et opérations sur l'inégalité mais je n'ai aucune contradiction à la fin
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » dim. 7 mars 2021 08:47

Bonjour,
est-ce que tu as lu le message que je t'ai envoyé hier ?
sos-math(21) a écrit :
sam. 6 mars 2021 12:14
Bonjour,
j'avais effectivement verrouillé le sujet.
Pour la convergence vers 1, tu peux t'appuyer sur la définition de \(U_n\).
Tu sais que \(Un^n+U_n-1\) donc \(1-U_n=U_n^n\) pour tout entier \(n\).
Tu sais aussi que ta suite est croissante et majorée par 1 donc elle converge vers un réel \(\ell\in]0\,;\,1]\).
Maintenant la suite est délicate, je te propose de faire une démonstration par l'absurde.
Supposons que que \(\ell\neq 1\), c'est-à-dire \(0<\ell<1\). Alors, on a pour tout entier \(n\) :
\(0<U_n\leqslant \ell\)
soit en passant à la puissance \(n\), on a :
\(0<U_n^n\leqslant \ell^n\)
Je te laisse poursuivre pour voir où est la contradiction.
Bonne continuation
Tout y est, il te reste à faire la fin : avec \(0<U_n^n\leqslant \ell^n\), tu conclus que \(U_n^n\) tend vers \(0\) quand \(n\to+\infty\).
Or quand tu reprends l'égalité \(1-U_n=U_n^n\) et que tu passes à la limite dans cette égalité, c'est ici que tu obtiens une contradiction.
Essaie de terminer le raisonnement, il ne reste plus grand chose.
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » dim. 7 mars 2021 10:29

sos-math(21) a écrit :
dim. 7 mars 2021 08:47
Bonjour,
est-ce que tu as lu le message que je t'ai envoyé hier ?
Oui je l'ai lu et j'ai essayé de poursuivre mais sans succès, maintenant après votre énième aide, la contradiction apparaît clairement puisque on a d'une part \(0< {U_{n}}^{n}\leqslant l^{n}\Rightarrow 0\leqslant \lim_{}{U_{n}}^{n}\leqslant \lim_{}l^{n}\Rightarrow \lim_{}{U_{n}}^{n}=0\)
et d'autre part on a \({U_{n}}^{n}=1-U_{n}\Rightarrow \lim_{}(1-U_{n})=\lim_{}{U_{n}}^{n}\Rightarrow \lim_{}{U_{n}}^{n}=1-l\Rightarrow \lim_{}{U_{n}}^{n}\neq 0\) ( puisque on a supposé \(l\neq 1\) )
Donc c'est une contradiction et du coup \(l=1\) forcément.
MERCI
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » dim. 7 mars 2021 10:30

Bonjour,
tu as parfaitement complété le raisonnement et cela doit te permettre de terminer l'exercice.
Bonne rédaction
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » dim. 7 mars 2021 10:55

sos-math(21) a écrit :
dim. 7 mars 2021 10:30
Bonjour,
tu as parfaitement complété le raisonnement et cela doit te permettre de terminer l'exercice.
Bonne rédaction
Oui grâce votre aide, mais j'ai quand même une question si vous permettez
D'accord on sait que la suite \((U_{n})\) est convergente, mais est ce que ça implique automatiquement que la suite \(({U_{n}}^{n})\) est également convergente ?
Parce que sur le raisonnement par l'absurde on a trouvé 2 valeurs différentes de \(\lim_{}{U_{n}}^{n}\) mais qu'est ce qui nous dit que la suite \(({U_{n}}^{n})\) n'est pas divergente ?
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » dim. 7 mars 2021 11:00

Bonjour,
c'est l'encadrement \(0<U_n^n\leqslant \ell^n\) qui te permet de justifier cette convergence.
Comme on suppose que \(0<\ell<1\), \((\ell^n)\) est le terme général d'une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1 donc elle converge vers 0.
Le théorème des gendarmes assure alors que la suite \((U_n^n)\) est convergente et de limite 0. C'est l'hypothèse par l'absurde \(0<\ell<1\) qui assure la convergence.
Est-ce compris ?
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » dim. 7 mars 2021 11:07

sos-math(21) a écrit :
dim. 7 mars 2021 11:00
Bonjour,
c'est l'encadrement \(0<U_n^n\leqslant \ell^n\) qui te permet de justifier cette convergence.
Comme on suppose que \(0<\ell<1\), \((\ell^n)\) est le terme général d'une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1 donc elle converge vers 0.
Le théorème des gendarmes assure alors que la suite \((U_n^n)\) est convergente et de limite 0. C'est l'hypothèse par l'absurde \(0<\ell<1\) qui assure la convergence.
Est-ce compris ?
Bonne continuation
Ah oui oui j'ai oublié cela
Je ne saurai vous remercier assez pour vos explications et orientations si claires et détaillées, encore une fois merci je vous ai merveilleusement compris
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » dim. 7 mars 2021 11:08

Bonjour,
je pense que cet accompagnement se termine car l'exercice est complètement traité.
Je verrouille le sujet et te dis à bientôt sur sos-math.
Verrouillé