Nombres de Fermat

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Martin

Nombres de Fermat

Message par Martin » jeu. 9 janv. 2014 18:02

Bonjour, dans un exercice de Spé Maths au sujet des nombres de Fermat, on me demande de démontrer que F indice (n+k) est congru à 2 modulo [F indice (n)]. J'arrive à démontrer ceci, et j'arrive à en déduire que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
Maintenant, on me demande de trouver, à partir de là, une nouvelle preuve de l'infinitude des nombres premiers. Aïe...
J'ai bien sûr pensé que comme les nombres de Fermat sont premiers deux à deux, alors il existe une infinité de nombres premiers, mais je ne pense pas que cela suffise ?
D'ailleurs, il est écrit dans mon livre qu'on ne sait s'il y a une infinité de nombres de Fermat premiers, voilà pourquoi je doute de ma réponse. Pourriez-vous m'aider pour cette question ?

Merci d'avance pour votre réponse.
sos-math(20)
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Re: Nombres de Fermat

Message par sos-math(20) » jeu. 9 janv. 2014 19:34

Bonsoir Martin,

Comme vous l'avez démontré, les nombres de Fermat sont premiers entre eux deux à deux.
Or chaque nombre de Fermat \(F_n\) admet au moins un diviseur premier \(p_n\) qui ne divise pas les autres nombres de Fermat puisqu'ils sont premiers entre eux deux à deux.
Il y a donc au moins autant de nombres premiers que de nombres de Fermat, et puisqu'il y a une infinité de nombres de Fermat, il y a aussi une infinité de nombres premiers.

J'espère que cette explication vous conviendra.

SOS-math
Martin

Re: Nombres de Fermat

Message par Martin » ven. 10 janv. 2014 07:32

Merci beaucoup pour votre réponse qui me convient parfaitement !
sos-math(21)
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Re: Nombres de Fermat

Message par sos-math(21) » ven. 10 janv. 2014 07:58

Tant mieux,
en revanche, on ne connait pas forcément de facteurs premiers, par exemple \(F_{14}\), possède un facteur premier mais on n'en a pas encore trouvé...
On ne sait pas a priori au delà d'une certaine limite quels sont les nombres de Fermat premiers et quels sont les nombres de Fermat composés.
Il reste donc encore des questions en suspens : existe-t-il une infinité de nombres de Fermat premiers ?
Cela fait partie des nombreux problèmes non réglés en arithmétique.
Bonne continuation.
Invité

Re: Nombres de Fermat

Message par Invité » jeu. 25 févr. 2021 05:45

Martin a écrit :
ven. 10 janv. 2014 07:32
Merci beaucoup pour votre réponse qui me convient parfaitement !
Bonjour , comment monter que deux nombre de Fermat sont premier entre eux
sos-math(21)
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Re: Nombres de Fermat

Message par sos-math(21) » jeu. 25 févr. 2021 06:37

Bonjour,
Pour démontrer que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux, il faut établir une relation de congruence préalable entre eux.
Tu peux consulter une démonstration ici : http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Fi ... ulier).pdf
Dans ce fil de discussion une démonstration est aussi évoquée : montrer que \(F_{n+k}\equiv \,2 [F_n]\).
Bonne continuation
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