Exercice sur les suites et les limites

[Invité]

Bonjour,
je suis en term S, j'ai quelques problèmes pour résoudre un exercice. Voici l'enoncé :

Les suites (Un) et (Vn) définies par : \(\u_{0}\) = 3 , \(\v_{n}\) = 5/\(\u_{n}\) et \(\u_{n+1}\) = ( \(\u_{n}\) + \(\v_{n}\) )/2
On considère pour tt entier naturel n, \(\u_{n}\) > 0 et \(\v_{n}\) > 0
1) Démontrer que pour tt entier naturel n, \(\u_{n+1}\) - \(\v_{n+1}\) = [1/(4\(\u_{n+1}\) )]*( \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) )²
En déduire que pour tt entier naturel n, \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) \(\geq\) 0
2) Prouver que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante.
3) a) Démontrer que pour tt entier naturel n, \(\u_{n}\) \(\geq\) 5/3
b) Montrer que (Un) et (Vn) sont convergentes.
4) a) Calculer \(\lim_{n\to+\infty} Un\) et \(\lim_{n\to+\infty} Vn\)
b) Que peut-on dire de (Un) et (Vn) ?
c) Déduire que : 4935/2207 \(\leq\) \(\sqrt{5}\) tex]\leq[/tex] 2207/987

Mes réponses :
1) \(\u_{n+1}\) - \(\v_{n+1}\) = (( \(\u_{n}\) + \(\v_{n}\) )/2) - (5/\(\u_{n+1}\) ) = ... = (( \(\u_{n}\) + \(\v_{n}\) )² -20) / (2( \(\u_{n}\) + \(\v_{n}\) )) je n'arrive pas à trouver l'égalité

Comme \(\u_{n+1}\) - \(\v_{n+1}\) = (1/(4\(\u_{n+1}\) ))*( \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) )²
soit = ( \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) )² / (4\(\u_{n+1}\) )
Or ( \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) )² \(\geq\) 0
Or 4\(\u_{n+1}\) > 0 car Un > 0
Donc pour tt entier naturel n, \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) \(\geq\) 0

2) Pour prouver que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante faut-il utiliser \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) \(\geq\) 0 ou calculer \(\u_{n+1}\) - \(\u_{n}\) =... ET \(\v_{n+1}\) - \(\v_{n}\) =... ?

3) a) Comme \(\u_{n}\) - \(\v_{n}\) \(\geq\) 0
alors \(\u_{n}\) \(\geq\) \(\v_{n}\)
Or (Un) est décroissante
Alors \(\u_{n}\) \(\geq\) \(\v_{0}\)
\(\u_{n}\) \(\geq\) 5/ \(\u_{0}\)
\(\u_{n}\) \(\geq\) 5/3
b) (Un) est décroissante et minorée par 5/3 Donc CONVERGE.
(Vn) est croissante et \(\u_{n}\) \(\geq\) \(\v_{n}\)
ainsi \(\u_{0}\) \(\geq\) \(\v_{n}\)
3 \(\geq\) \(\v_{n}\) Donc (Vn) est majorée et Donc elle CONVERGE.

4) a) Pour calculer les limites des 2 suites il faut utiliser le théorème suivant : f(l)=l
Mais il faut d'abord prouver que les suites sont continues ! Je ne vois pas comment on peut le montrer.
b) Je pense qu'elles vont être ADJACENTES.
c) je n'ai pour l'instant pas de piste.

Merci de bien vouloir m'aider. Virginie

[SoS-Math(9)]

Bonjour Virginie,

tout d'abord je suis désolé mais ton message est illisible !
Quand tu utilises "tex" pour écrire une suite, il y a une erreur pour la définir : il faut taper "u_{n}" et non "\u_{n}".

Peux-tu essayer de retaper ton text ?

SoSMath.

[Invité]

J'espère que cette fois ci le texte sera lisible :)

Les suites (Un) et (Vn) définies par : U(o)= 3 , Vn= 5/Un et Un+1= (Un+Vn )/2
On considère pour tt entier naturel n, Un> 0 et Vn> 0
1) Démontrer que pour tt entier naturel n, Un+1 - Vn+1 = [1/(4Un+1 )]*(Un - Vn )²
En déduire que pour tt entier naturel n, Un - Vn \(\geq\) 0
2) Prouver que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante.
3) a) Démontrer que pour tt entier naturel n, Un \(\geq\) 5/3
b) Montrer que (Un) et (Vn) sont convergentes.
4) a) Calculer \(\lim_{n\to+\infty}Un\) et \(\lim_{n\to+\infty}Vn\)
b) Que peut-on dire de (Un) et (Vn) ?
c) Déduire que : 4935/2207 \(\leq\) \(\sqrt{5}\) \(\leq\) 2207/987

Mes réponses :
1) Un+1 - Vn+1= ((Un+Vn )/2) - (5/Un+1) = ... = ((Un+Vn )² -20) / (2( Un+Vn )) je n'arrive pas à trouver l'égalité

Comme Un+1 - Vn+1= (1/(4Un+1 ))*( Un - Vn )²
soit = ( Un - Vn )² / (4Un+1 )
Or (Un - Vn )² >= 0
Or 4 > 0 car Un > 0
Donc pour tt entier naturel n, Un - Vn >= 0

2) Pour prouver que (Un) est décroissante et que (Vn) est croissante faut-il utiliser Un - Vn >= 0 ou calculer Un+1 - Un =... ET Vn+1 - Vn=... ?

3) a) Comme Un - Vn >= 0
alors Un >= Vn
Or (Un) est décroissante
Alors Un >= V0
Un >= 5/U0
Un >= 5/3
b) (Un) est décroissante et minorée par 5/3 Donc CONVERGE.
(Vn) est croissante et Un >= Vn
ainsi U0 >= Vn
3 >= Vn Donc (Vn) est majorée et Donc elle CONVERGE.

4) a) Pour calculer les limites des 2 suites il faut utiliser le théorème suivant : f(l)=l
Mais il faut d'abord prouver que les suites sont continues ! Je ne vois pas comment on peut le montrer.
b) Je pense qu'elles vont être ADJACENTES.
c) je n'ai pour l'instant pas de piste.

[SoS-Math(9)]

Merci Virginie , d'avoir recopié ton texte.

Question 1) Ton calcul est juste, il te reste plus à voir que 20 = 4 * 5 et 5 = \(n_{n}\)*\(v_{n}\) et que 2(\(u_{n}\) + \(v_{n}\)) = 4 \(u_{n+1}\).

Question 2) Oui tu peux utiliser \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\)
et en utilisant le résultat de la question 1) tu pourras conclure sur le signe de \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\).
De même pour la suite (vn).

Pour la question 3a), il faut faire un raisonnement par récurrence en utilisant le fait que vn est croissante donc vn >= v0 = 5/3.

4a) Remarque, les suites ne sont pas continues ...
Il faut exprimer \(u_{n+1}\) seulement en fonction \(u_{n}\) ... alors tu pourras associer une fonction f (qui sera continue) à ta suite. tu résolveras alors f(l) = l pour trouver l = \(\sqrt{5}\) (réponse évidente d'après la question suivante).

4b) il s'agit de faire un encadrement avec tes suites un et vn.

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Bonjour
Je vous remercie de m'avoir aidé, vos explications m'ont été utiles. Mais pour la 3)a) j'ai du mal à terminer le raisonnement par récurrence, voici le début de ma démonstration :

On suppose que Up \(\geq\) 5/3
On va montrer que Up+1 \(\geq\) 5/3

DEMO : Up \(\geq\) 5/3
Up+Vp \(\geq\) (5/3)+Vp
Up+Vp \(\geq\) (5/3)+(5/Up)=(5Up + 15 )/(3Up)
(Up+Vp)/2 \(\geq\) (5Up + 15 )/(6Up)
Up+1 \(\geq\) (5Up + 15 )/(6Up) Or on voulait Up+1 \(\geq\) 5/3

Merci d'avance. Virginie

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Tu sais que V est croissante donc Vp>=V0 donc Vp>=5/3.
La deuxième ligne de ton raisonnement se poursuit donc ainsi: \(U_p +V_p \geq \frac{5}{3} +\frac{5}{3}\)

Je te laisse finir

sosmaths