Continuité d'une fonction TS

[Maxime]

Bonjour à tous,
J'ai un exercice avec certaines questions sur lesquelles je bloque un peu.
On note E l'application de R dans R qui au réel t associe sa partie entière E(t), qui vérifie la relation : E(t)<= t < E(t)+1
On considère la fonction f de [0;2π] dans R définie par : pour tout x de ]0;2π], f(x)=sin [xE(π/x)] et f(o)=0

1) montrer que t-1<E(t)<=t
2) Calculer la limite quand x tend vers 0 par valeurs supérieures de la fonction définie par x-> xE(π/x) pour 0<x<=2π, en déduire la continuité de f à l'origine
3) Résoudre dans [0;2π] l'équation E(π/x)=0, puis l'équation E(π/x)=k, avec k entier naturel non nul. Expliciter f sur les intervalles ]π/3 ; π/2] et ]π/2; π].
=> C'est à partir d'ici que je bloque :
4) Expliciter f sur ]π/(k+1) ; π/k], k décrivant N*, en déduire l'étude de la continuité de f sur [0;2π].
5) Etudier la dérivabilité de f sur ]0;2π], préciser les résultats pour les valeurs x= π/k, k entier naturel positif.
6) Pour k entier naturel positif, posons : yk= lim f(x) pour x->π/k et x>π/k :
Montrer que le point Mk(π/k ; yk) appartient à une courbe (S) dont on précisera l'équation

Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Tu as du trouver que sur l'intervalle considéré au 4,et en te servant du 3, on a \(E\left(\frac{\pi}{x}\right)=k\) donc \(f(x)=sin(kx)\) sur cet intervalle
Es-tu d'accord avec cela ?

[Maxime]

Bonsoir,

Oui effectivement, j'ai trouvé que f(x=)= sin kx
je voulais dire que lorsque k=o la fonction est continue puisque fonction sinus, et que lorsque k>0 c'était une composée de fonctions continues (sinus et affine) et donc en conclure que sur [0;2π] la fonction f était continue, mais je ne sais pas si j'ai bien le droit de dire cela ?

Merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonsoir,
sauf que la valeur f(x)=sin(kx) est valable uniquement sur l'intervalle ]π/(k+1) ; π/k], ta fonction est continue par morceaux, il suffit de regarder aux points de jonctions des intervalles par valeurs supérieures et inférieures.

[Maxime]

Bonsoir,

Est-ce qu'il faut alors que calcule la limite de f(x) quand x tend vers (π/k+1) et ensuite quand x tend vers (π/k) ?

Merci

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

il faut que tu étudies la limite de f(x) lorsque x tend vers pi/k

Attention, il faut calculer la limite à gauche et la limite à droite.

Et f(x) n'a pas la même expression lorsque x > pi/k et lorsque x<=pi/k

sosmaths

[Maxime]

Bonjour,

Je suis désolé mais je n'ai pas tout compris, faut-il que je calcule : lim sin (k-1)x quand x tend vers π/k et en déduire que si cette limite est différente de 0 quand k>1 et est égale à 0 quand k=1 ? Puis ensuite montrer que f(π/k)= sin π = 0 ?
J'en conclurais donc qu'elle est continue quand k=1 et qu'elle est discontinue quand k>1 ?

Merci pour vos aides !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maxime,

Pourquoi veux-tu remplacer k par 1 ?
Comme on t'a déja écrit, il faut calculer les limites suivantes :

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{k}\\x<\frac{\pi}{k}}f(x)\) et \(\lim_{x \to \frac{\pi}{k}\\x>\frac{\pi}{k}}f(x)\)

Puis vérifier que ses deux limites soient égales à \(f(\frac{\pi}{k})\). Dans ce cas alors la fonction est continue en \(\frac{\pi}{k}\).

SoSMath.

[Maxime]

Bonjour,

En fait, je ne comprends pas car le prof nous a donné des pistes et nous a dit que la fonction était continue partout sauf quand x= π/k quand k était sur N*+ et pour k différent de 1

Je suis un peu perdu...

[SoS-Math(9)]

Maxime,

Que veux-tu dire par N*+ ? (N étant l'ensemble des entiers positifs !)

Ensuite as-tu fait le calcul des limites demandées ?

SoSMath.

[Maxime]

Ah oui petite étourderie, N* suffira...

J'ai trouvé que lim f(x) quand x>π/k = 0 et que lim f(x) quand x<π/k = sin (k-1)(π/k)
Ce sont déjà les bons résultats ?

[SoS-Math(9)]

Maxime,

Tes limites sont justes !
Donc tes limites ne sont pas égales, donc la fonction f n'est pas continue pour x = pi/k où k appartient à IN*.

SoSMath.

[Maxime]

Bonjour,

J'ai maintenant bien compris mais si je prend x=π/k avec k=1, la fonction est bien continue ?

Merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maxime,

tu as raison si k=1 alors la fonction est continue en x=pi/1 soit x=pi.

SoSMath.

[Maxime]

Ensuite on me demande d'étudier la dérivabilité de f sur ]0;2π[ en précisant les valeurs x=π/k avec k entier naturel positif.

Dois-je utiliser le taux d'accroissement : avec f(x) = sin [xE(π/x)] en a appartenant ]0;2π[ => τ(a)=[ f(x)-f(a) ] / x-a Et après je développe pour trouver un résultat arrangeant pour ensuite calculer la lim de τ(a) quand x->a et montrer que c'est dérivable ?

Merci de votre aide