Démonstration de l’égalité d’une fonction

Retrouver tous les sujets résolus.
Répondre
Thomas

Démonstration de l’égalité d’une fonction

Message par Thomas » jeu. 8 juin 2023 15:37

Bonjour à tous,
Pour mon grand oral j’utilise une fonction et je dois prouver que cette fonction est égale à pi pour tout x appartenant à [-1;1].
Cette fonction est la suivante :
f(x)=2*[arcsin(sqrt(1-x^2))+abs(arcsin(x))]
Je dois donc démontrer que cette fonction est égale à f(x)=pi.
Merci d’avance pour votre aide !
sos-math(21)
Messages : 10328
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Démonstration de l’égalité d’une fonction

Message par sos-math(21) » ven. 9 juin 2023 20:45

Bonjour,
une méthode pour répondre à la question est de dériver la fonction et montrer que cette dérivée est nulle, ce qui te permettra de conclure que la fonction est constante et il suffira de calculer l'image d'un nombre, par exemple \(f(0)\) pour trouver la valeur de cette constante.
Pour calculer cette dérivée, tu as besoin de savoir dérivée une composée de deux fonctions \(h=g\circ f\) qui se définit par \(h(x)=g(f(x))\).
La formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions est donnée par \(\left(g\circ f\right)'=f'\times g'\circ f\).
Cette formule te permet aussi de connaître la dérivée de la racine d'une fonction : \(\left(\sqrt{f}\right)'=\dfrac{f'}{2\sqrt{f}}\).
Mais avant tout calcul de dérivée, il faut se débarrasser de la valeur absolue car celle-ci n'est pas dérivable.
En fait, comme \(\arcsin(x)<0\) lorsque \(x<0\) et \(\arcsin(x)\geqslant 0\) lorsque \(x\geqslant >0\), on obtient les deux expression suivantes de \(f\) selon le signe de \(x\) :
  • sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})-2\arcsin(x)\)
  • sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})+2\arcsin(x)\)
Je traite seulement le cas des négatifs, l'autre se traite de manière identique.
Sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})-2\arcsin(x)\). Cette fonction est dérivable et on a d'après la composée de deux fonctions et sachant que \(\left(\arcsin(x)\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), on a :
\(f'(x)=2\left(\sqrt{1-x^2}\right)'\times \dfrac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
soit :
\(f'(x)=\dfrac{2\times (-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
donc :
\(f'(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{\sqrt{x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
Or on sait que \(\sqrt{x^2}=|x|\) et comme \(x\leqslant 0\), on a donc \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\).
On a donc :

\(f'(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{-x}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=0\)
Finalement, on a montré que \(f'(x)=0\) sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\). De la même manière, on montrerait que \(f'(x)=0\) sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) donc que \(f\) est constante donc, pour tout réel \(x\in[-1\,;\,1]\) : \(f(x)=f(0)=2\arcsin(\sqrt{1-0^2})+|2\arcsin(0)|=2\times \dfrac{\pi}{2}+2\times 0=\pi\).
Bonne continuation
Répondre