Produit scalaire
Produit scalaire
Bonjour j'ai un exercice que je comprends pas bien Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A.
Soit I le point de [AB] tel que AI = AB/3 ;
J le point de [AC] tel que AJ = AC/3 ; et K le milieu de [IC].
Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.
Soit I le point de [AB] tel que AI = AB/3 ;
J le point de [AC] tel que AJ = AC/3 ; et K le milieu de [IC].
Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.
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Re: Produit scalaire
Bonjour,
tu peux commencer par écrire que \(\overrightarrow{AK}=0,5\overrightarrow{AC}+0,5\overrightarrow{AI}\) (règle du parallélogramme ).
Comment trouver cette propriété ? Tu peux partir de \(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{0}\) car \(K\) est le milieu de \([IC]\).
Puis tu insères le point \(A\) par la relation de Chasles : \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{0}\) tu réduis et tu passes dans l'autre membre :
\(2\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AI}\), puis tu divises par 2.
Une fois cela fait, tu calcules le produit scalaire :
\(\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{JB}=(0,5\overrightarrow{AC}+0,5\overrightarrow{AI}).(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})\)
Tu distribues, il y a des produits scalaires qui valent 0, car tu as des vecteurs orthogonaux et les produits scalaires qui restent seront opposés, ce qui donnera bien 0.
Je te laisse faire ce calcul.
Bonne continuation
tu peux commencer par écrire que \(\overrightarrow{AK}=0,5\overrightarrow{AC}+0,5\overrightarrow{AI}\) (règle du parallélogramme ).
Comment trouver cette propriété ? Tu peux partir de \(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{0}\) car \(K\) est le milieu de \([IC]\).
Puis tu insères le point \(A\) par la relation de Chasles : \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{0}\) tu réduis et tu passes dans l'autre membre :
\(2\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AI}\), puis tu divises par 2.
Une fois cela fait, tu calcules le produit scalaire :
\(\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{JB}=(0,5\overrightarrow{AC}+0,5\overrightarrow{AI}).(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})\)
Tu distribues, il y a des produits scalaires qui valent 0, car tu as des vecteurs orthogonaux et les produits scalaires qui restent seront opposés, ce qui donnera bien 0.
Je te laisse faire ce calcul.
Bonne continuation
Re: Produit scalaire
Moi j'avais commencé à décomposer les vecteurs AK et JB avec la relation de Chasles voilà ce que ça a donné AK=AI+IK et JB=JA+AB mais arrivé là je suis bloqué
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Re: Produit scalaire
Effectivement, si tu gardes \(\overrightarrow{IK}\), tu n'aboutiras à rien.
Il faut que tu décomposes selon des vecteurs orthogonaux, portés par les droites \((AB)\) et \((AC)\), comme je te le suggère.
Bonne continuation
Il faut que tu décomposes selon des vecteurs orthogonaux, portés par les droites \((AB)\) et \((AC)\), comme je te le suggère.
Bonne continuation
Re: Produit scalaire
J'ai développé le produit scalaire AK.JB
J
AK.JB=(0,5AC+0,5AI).(JA+AB)=1/2AC.JA+1/2AC.AB+1/2AI.JA+1/2AI.AB=1/2AC.JA+1/2AI.AB
J
AK.JB=(0,5AC+0,5AI).(JA+AB)=1/2AC.JA+1/2AC.AB+1/2AI.JA+1/2AI.AB=1/2AC.JA+1/2AI.AB
Re: Produit scalaire
Je comprends pas comment les produits scalaire AC.JA et AI.AB sont opposés
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Re: Produit scalaire
Bonjour,
Pour le calcul du produit scalaire, c'est bon
ton triangle est rectangle isocèle donc \(AC=AB\).
Tes deux points \(I\) et \(J\) sont au tiers de \([AB]\) et \([AC]\) donc \(AI=\dfrac{1}{3}AB\) et \(AJ=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{3}AB\).
On a donc \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{JA}=\dfrac{1}{2}\times (-1)\times AB\times\dfrac{1}{3}AB=-\dfrac{1}{6}AB^2\)
car les deux vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{JA}\) sont opposés.
Je te laisse calculer de la même manière \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\)
Bonne conclusion
Pour le calcul du produit scalaire, c'est bon
ton triangle est rectangle isocèle donc \(AC=AB\).
Tes deux points \(I\) et \(J\) sont au tiers de \([AB]\) et \([AC]\) donc \(AI=\dfrac{1}{3}AB\) et \(AJ=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{3}AB\).
On a donc \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{JA}=\dfrac{1}{2}\times (-1)\times AB\times\dfrac{1}{3}AB=-\dfrac{1}{6}AB^2\)
car les deux vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{JA}\) sont opposés.
Je te laisse calculer de la même manière \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\)
Bonne conclusion
Re: Produit scalaire
Merci infiniment pour votre réponse j'ai compris maintenant
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Re: Produit scalaire
Très bien, je te laisse rédiger ta solution maintenant.
Bonne continuation
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