Euclide

[SoS-Math(34)]

Bonjour Maxine,

Il me semble que tu souhaites écrire \(9x+5y=3n\) et pas \(9x+5y=3^{n}\) puisque les multiples de 3 peuvent s'écrire sous la forme 3n avec n entier (or tu as écrit \(3^{n}\) qui correspond à l'écriture des puissances de 3).
Une piste pour ta question :
\(9x+5y=3\) équivaut à \(9xn+5yn=3n\) pour tout entier naturel n non nul.
Ainsi tu peux déduire de l'ensemble des solutions (x;y) de l'équation diophantienne \(9x+5y=3\) -que tu as déjà trouvées- les solutions (X;Y) de l'équation \(9X+5Y=3n\).

Bonne recherche,
Sosmaths

[Maxine]

Ah oui mince je me suis trompée c'est \(3n\) merci !

\(9x+5y=3 <=> 9xn+5yn=3n\)
Or \(x= 2+5k\) et \(y=-1-3k\)
Donc \(9(2+5k)n+5(-1-3k)n=3n\)
<=> \((18+45k)n+(-5-15k)n=3n\)
<=> \(18n+45kn-5n-15kn=3n\)
<=> \(13n+30kn=3n\)
Je factorise ? Je me suis peut-être compliquée la vie.. Je n'ai vraiment pas d'inspiration pour cette question.

[SoS-Math(34)]

Maxine,

Il n'est pas utile de développer, les trois dernières lignes de ton calcul ne servent pas.
Puisque n est un entier non nul : 9x + 15y = 3 <=> 9xn + 15yn = 3n
Les solutions (X;Y) de l'équation diophantienne 9X + 15Y = 3n sont donc les couples (xn ; yn) où (x ; y) sont les couples solutions de l'équation 9x + 15y = 3 , (x = 2 + 5k et y = -1 - 3k avec k entier d'après le travail effectué précédemment)
Par conséquent les solutions (X;Y) de l'équation diophantienne 9X + 15Y = 3n sont les couples ((2 + 5k)n ; (-1 - 3k)n) pour k entier.

Sosmaths

[Invité]

Maxine,

Il n'est pas utile de développer, les trois dernières lignes de ton calcul ne servent pas.
Puisque n est un entier non nul : 9x + 15y = 3 <=> 9xn + 15yn = 3n
Les solutions (X;Y) de l'équation diophantienne 9X + 15Y = 3n sont donc les couples (xn ; yn) où (x ; y) sont les couples solutions de l'équation 9x + 15y = 3 , (x = 2 + 5k et y = -1 - 3k avec k entier d'après le travail effectué précédemment)
Par conséquent les solutions (X;Y) de l'équation diophantienne 9X + 15Y = 3n sont les couples ((2 + 5k)n ; (-1 - 3k)n) pour k entier.

Sosmaths

L'énoncé dit que (14;7) est une solution de:
9x + 15y = 3*77.. pour une durée d =3,h 51min=3×77
Soit ici n=77 , donc x=(2+5k)*77 , y=(-1-3k)×77
Mais aucune valeur de k ne donne x=14 ; y,=7 !
Vous ne croyez pas qu'il y a contradiction ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maxime,

Je prends le sujet en cours et je ne comprends pas ...
Les solutions x = 2 + 5k et y = -1 - 3k avec k entier sont pour l'équation 3x+5y=1
Mais x=14 et y =9 est une solution de 3x+5y=77 ... donc c'est "normal" de ne pas trouver un entier k tel que 2+5k = 14.

Pour la question 3, l'équation 9x+15y=d n'admet des solutions que si d est divisible par 3 ... en effet 9x+15y = 3(3x+5y) donc d doit être divisible par 3.

Je ne sais pas si j'ai répondu à ta question. Si ce n'est pas le cas, peux-tu la reformuler ?

SoSMath.

[Invité]

Bonjour Maxime,

Je prends le sujet en cours et je ne comprends pas ...
Les solutions x = 2 + 5k et y = -1 - 3k avec k entier sont pour l'équation 3x+5y=1
Mais x=14 et y =9 est une solution de 3x+5y=77 ... donc c'est "normal" de ne pas trouver un entier k tel que 2+5k = 14.

Pour la question 3, l'équation 9x+15y=d n'admet des solutions que si d est divisible par 3 ... en effet 9x+15y = 3(3x+5y) donc d doit être divisible par 3.

Je ne sais pas si j'ai répondu à ta question. Si ce n'est pas le cas, peux-tu la reformuler ?

SoSMath.

Bonjour,
Soit à résoudre 9x+15y= 3n (*) , n dana N*
On sait que 9(2+15(-1)= 3 (Samuel)
Donc . 9(2n)+15(-n)=3n (**)
(*)-(**) donne 9(x-2n) = 15(-y-n)
Soit 3(x-2n)= 5(-y-n)
Gauss ===> x=2n +5k, y= -n - 3k, k dans Z sont les solutions de(*).
Pour n=77, on trouve parmi ces solutions x=14, y=7 qui est bien solution de (*).

[Maxine]

Bonjour,
Ce n'est pas moi qui ai posé cette question.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Maxine,
effectivement il semble que quelqu'un soit venu s'immiscer dans la discussion.
Tu as eu les aides de deux modérateurs, si tu as d'autres questions, n'hésite pas un modérateur y répondra.
Bonne journée
A bientôt sur le forum
SoS-math

[Maxime]

Bonjour
j'ai pas réussi à trouver le couple (14,7) quand j'essaie avec x=(2+5k)n , y=(-1-3k)n
J'ai calculé d=3×60 +51=231=3×77 et j'ai remplacé n par 77
J'ai du faire une erreur quelque part mais je sais où ?
Merci pour aide

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maxime,

Dans un message précédent je t'ai expliqué pour quoi cela ne marchait pas ...
Et la personne qui est intervenu t'a donné la réponse.
Tu as l'équation 9x + 15y = 3n à résoudre.
Une solution particulière de 9x + 15y = 3 est x = 2 et y=-1, soit 9*2 + 15*(-1) = 3,
donc en multipliant par n, on obtient : 9*2n + 15*(-1n) = 3n.
Mais 3n = 9x + 15y, donc on obtient : 9*2n + 15*(-1n) = 9x + 15y soit 15(-y-n) = 9(x-2n), soit 5(-y-n) = 3(x-2n).
Comme 5 et 3 sont premier entre eux, alors d'après Gauss, -y-n = 3k et x-2n= 5k où k appartient à Z.
Soit x = 2n + 5k et y = -n - 3k.
Pour x = 14 et n =77 on trouve k = -28
Pour y = 7 et n = 77, on trouve k = -28.

Bon courage,
SoSMath.

[Maxine]

Bonjour !
Merci pour vos explications, après avoir relu plusieurs fois vos réponses, je pense avoir compris.

Par contre je ne comprends pas la question suivante, la 4.a) ... Pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît ?

[Maxine]

Je n'ai juste pas compris pour la question 3, quelles durées sont inaccessibles ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maxime,

Pour la question 4a :
* On a x>0 et y<0 lorsque k > 0.

* la première solution est x=2 et y=-1 (solution de Samuel).

* La solution suivante sera x = 7 et y = -4

* Manipulation : au départ on retourne en même temps les deux sabliers. On retournera 7 fois le sablier de 9 minutes et 4 fois celui de 15 minutes. Lorsque le sablier de 15 minutes sera terminé, il restera alors 3 minutes dans le 1er sablier.

SoSMath.

[SoS-Math(9)]

Maxime,

Pour la question 3, si on pose d la durée recherchée, alors il faut résoudre l'équation 9x+15y=d.
Mais, 9x+15y = d <=> 3(3x+5y) = d.
Donc d doit être divisible par 3.
Donc les seules durées accessibles sont celles multiples de 3.

SoSMath.

[Maxine]

Merci pour vos explications !
Pour la question 4)a., les solutions sont donc toutes celles dont k est supérieur à 0 ? Je n'ai juste pas compris pourquoi on trouve y=-4 .

Pour la question 4)b., les solutions sont celles dont k est inférieur à 0 ?