loi des grands nombres

Retrouver tous les sujets résolus.
Verrouillé
Cédric

loi des grands nombres

Message par Cédric » mar. 9 mars 2021 10:08

Bonjour,
on considère une variable aléatoire X qui prend les valeurs entières de façon équiprobable de 1 à 5.
Et on nomme Mn la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille n de la variable aléatoire X.
Le but est de simuler 500 valeurs de la variable aléatoire Mn par une fonction en Python dans le but d'estimer la probabilité que la distance entre Mn et E(X) soit supérieure ou égale à l'écart-type de Mn.
Je calcule E(X) qui vaut 3 et je sais que Mn aura aussi la même espérance.
Je calcule la variance de X qui vaut 2 d'où son écart-type qui vaut racine carrée de 2. Et en supposant les variables X indépendantes, je trouve que l'écart-type de Mn est l'écart-type de X divisé par la racine carrée de n.

Voici le programme avec Edupython :
from lycee import *

def simulMn(n):
S=[randint(1,5) for i in range(n)]
Mn=sum(S)/n
return Mn

def echantMn(n) :
echant=[simulMn(n) for i in range(500)]
c=0
d=sqrt(2/n)
for e in echant :
if abs(e-3)>=d :
c=c+1
return c/500

Mais il semble y avoir un problème car si j'essaie avec echantMn(1000) puis echantMn(10000) je trouve des résultats qui ne se rapprochent pas de 0 contrairement à ce que prévoit la loi des grands nombres.
Merci de m'aider à trouver l'erreur du script.
Cordialement,
C.
sos-math(21)
Messages : 8870
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: loi des grands nombres

Message par sos-math(21) » mar. 9 mars 2021 21:05

Bonjour,
si tu utilises l'inégalité de Bienaymé-tchebychev, tu as pour tout \(\epsilon >0\) :
\(P(|M_n-E(X)|\geqslant \epsilon)\leqslant \dfrac{V(X)}{n\epsilon ^2}\) donc pour \(\epsilon>0\) fixé, ta fonction EchantMn devrait avoir ses valeurs qui tendent vers 0. avec \(E(X)=3\) et \(V(X)=2\), les paramètres de la variable aléatoire de départ
Or le problème est que tu considères un \(\epsilon\) (qui correspond à ton \(d\) dans la fonction EchantMN) qui dépend de \(n\) donc tu obtiendras par Tchebychev :
\(P(|M_n-E(X)|\geqslant \epsilon)\leqslant \dfrac{V(X)}{n\epsilon ^2}\) devient :
\(P(|M_n-3|\geqslant \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}})\leqslant \dfrac{2}{n\times \frac{2}{n}}\)
\(P(|M_n-3|\geqslant \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}})\leqslant 1\)
Ce qui ne te permet pas de conclure à une convergence vers 0, d'où les valeurs surprenantes que tu obtiens.
Il y aura convergence vers 0, à \(\epsilon\) et quand on fera tendre \(n\) vers \(+\infty\).
Est-ce plus clair pour toi ?
Bonne continuation
Cédric

Re: loi des grands nombres

Message par Cédric » mer. 10 mars 2021 15:18

Bonjour,
j'ai mis du temps à comprendre mais je pense avoir compris.
Merci beaucoup !
Je vais donc prendre un d qui ne dépende pas de n.
Bonne soirée !
C.
sos-math(21)
Messages : 8870
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: loi des grands nombres

Message par sos-math(21) » mer. 10 mars 2021 15:24

Bonjour,
l'inégalité de Tchebychev est valable pour tout \(\epsilon\) mais pour que cela mène à une convergence (loi des grands nombre), il faut qu'il soit choisi a priori, c'est-à-dire qu'on le suppose fixé avant de passer à la limite lorsque \(n\to+\infty\).
Bonne continuation
Verrouillé