Suites et congruences

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Invité

Suites et congruences

Message par Invité » sam. 20 févr. 2021 10:06

Bonjour,
J'ai un exo de maths que j'ai globalement réussi, mais la dernière question me pose soucis.
Je donne le sujet avec mes réponses :
Pout toi entier naturel n, on définit les entiers
An=6×5^n -2 et Bn=3×5^n +1.
1.a. Montrer que, pour tout entier naturel n, chacun des entiers An et Bn est congru à 0 modulo 4. (vérifié)
b. Pour tout entier naturel n, calculer 2Bn-An. (=4)
c. Déterminer le PGCD de An et Bn. (=4)
2.a. Montrer que B2020=(congru) 3×2^2020 +1. (fait)
b. En remarquant que 2020=3×673+1, montrer que B2020 est divisible par 7. (fait)
c. L'entier An est-il divisible par 7? Justifier la réponse.
C'est cette question (2c) que je n'arrive pas à faire.
Pouvez-vous m'aider ?
sos-math(21)
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Re: Suites et congruences

Message par sos-math(21) » sam. 20 févr. 2021 10:22

Bonjour,
Tu sais déjà d'après les autres questions que le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est égal à 4.
Pour ta question c), il suffit de donner un contre-exemple pour montrer que c'est faux.
On a déjà établi que \(B_{2020}\) est divisible par 7.
Si \(A_{2020}\) était divisible par 7, cela signifierait que \(7\) est un diviseur commun à \(A_{2020}\) et \(B_{2020}\) donc que 7 diviserait leur PGCD.
Or... (question 1c).-> contradiction
Ce qui montre que \(A_{2020}\) n'est pas divisible par 7. Donc, en général, \(A_{n}\) n'est pas divisible par 7.
Je te laisse compléter ce raisonnement.
Bonne continuation
Invité

Re: Suites et congruences

Message par Invité » sam. 20 févr. 2021 10:28

Merci beaucoup pour ta réponse rapide.
sos-math(21)
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Re: Suites et congruences

Message par sos-math(21) » sam. 20 févr. 2021 10:53

Je pense que tu peux conclure ton exercice désormais.
Bonne continuation
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