Matrices
Matrices
Bonsoir à tous ! J'ai un DM de maths expertes à faire qui est hors programme d'après mon professeur, et je ne sais vraiment pas par où commencer... Pourriez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé:
On considère la matrice I= (1 0 et la matrice J= (0 1
0 1) -1 0)
On note M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que R² est le produit cartésien de R par lui-même c'est-à-dire l'ensemble des couples (a;b) où a∈R et b∈R. On note φ la fonction de R² dans M2R telle que φ(a;b) = aI + bJ.
On note enfin ξ le sous ensemble de M2(R) constitué des matrices qui sont l'image d'un couple (a;b) de R² par φ:
ξ= {M∈M2(R) / M= φ (a;b) où a∈R et b∈R}
1) Calculer φ(7;3) et φ(-5;2). On donnera la réponse sous forme d'un matrice carrée.
2) Montrer que I et J appartiennent à ξ. Autrement dit, trouver les couples (a;b) dont I et J sont les images.
3) Soit M une matrice de ξ. Exprimer M en explicitant ses quatre coefficients en fonction de a et b.
4) La matrice (1/3 4 appartient-elle à ξ ?
-4 2/3)
5) Exprimer J² en fonction de I, et montrer que J²∈ ξ.
6) Montrer que φ(a;b) = φ(a';b') <=> a = a'
b = b'
7) Montrer que ξ est stable par addition et multiplication, c'est-à-dire que si M et M' appartiennt à ξ, alors M+M et MM' également.
--> Pour la 1), j'ai fait:
7I = (7 0 3J = (0 3 <=> 7I+3J = (7 3
0 7) -3 0) -3 7)
-5I = (-5 0 2J = (0 2 <=> -5I+2J = (-5 2
0 -5) -2 0) -2 -5)
Pour la 2), je n'en ai aucune idée :(
Merci d'avance pour votre réponse :D
Voici l'énoncé:
On considère la matrice I= (1 0 et la matrice J= (0 1
0 1) -1 0)
On note M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que R² est le produit cartésien de R par lui-même c'est-à-dire l'ensemble des couples (a;b) où a∈R et b∈R. On note φ la fonction de R² dans M2R telle que φ(a;b) = aI + bJ.
On note enfin ξ le sous ensemble de M2(R) constitué des matrices qui sont l'image d'un couple (a;b) de R² par φ:
ξ= {M∈M2(R) / M= φ (a;b) où a∈R et b∈R}
1) Calculer φ(7;3) et φ(-5;2). On donnera la réponse sous forme d'un matrice carrée.
2) Montrer que I et J appartiennent à ξ. Autrement dit, trouver les couples (a;b) dont I et J sont les images.
3) Soit M une matrice de ξ. Exprimer M en explicitant ses quatre coefficients en fonction de a et b.
4) La matrice (1/3 4 appartient-elle à ξ ?
-4 2/3)
5) Exprimer J² en fonction de I, et montrer que J²∈ ξ.
6) Montrer que φ(a;b) = φ(a';b') <=> a = a'
b = b'
7) Montrer que ξ est stable par addition et multiplication, c'est-à-dire que si M et M' appartiennt à ξ, alors M+M et MM' également.
--> Pour la 1), j'ai fait:
7I = (7 0 3J = (0 3 <=> 7I+3J = (7 3
0 7) -3 0) -3 7)
-5I = (-5 0 2J = (0 2 <=> -5I+2J = (-5 2
0 -5) -2 0) -2 -5)
Pour la 2), je n'en ai aucune idée :(
Merci d'avance pour votre réponse :D
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Re: Matrices
Bonjour,
je ne comprends pas tes notations de matrice I et J : ce sont des matrices 2x2 ou des matrices lignes ?
Merci de préciser l'écriture de ces matrices afin que nous t'aidions du mieux possible.
À bientôt
je ne comprends pas tes notations de matrice I et J : ce sont des matrices 2x2 ou des matrices lignes ?
Merci de préciser l'écriture de ces matrices afin que nous t'aidions du mieux possible.
À bientôt
Re: Matrices
Je suis désolée les matrices se sont mises n'importe comment quand j'ai envoyé mon message.. Comment insère-t-on les matrices ?
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Re: Matrices
Tu peux les insérer avec des balises latex :
Le code précédent donne :
\( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)
Bonne écriture
Code : Tout sélectionner
\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)
Le code précédent donne :
\( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)
Bonne écriture
Re: Matrices
C'est bon j'ai trouvé merci !
Voici l'énoncé (un peu plus propre):
On considère la matrice I= \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}\) et J= \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
On note M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que R² est le produit cartésien de R par lui-même c'est-à-dire l'ensemble des couples (a;b) où a∈R et b∈R. On note φ la fonction de R² dans M2R telle que φ(a;b) = aI + bJ.
On note enfin ξ le sous ensemble de M2(R) constitué des matrices qui sont l'image d'un couple (a;b) de R² par φ:
ξ= {M∈M2(R) / M= φ (a;b) où a∈R et b∈R}
1) Calculer φ(7;3) et φ(-5;2). On donnera la réponse sous forme d'un matrice carrée.
2) Montrer que I et J appartiennent à ξ. Autrement dit, trouver les couples (a;b) dont I et J sont les images.
3) Soit M une matrice de ξ. Exprimer M en explicitant ses quatre coefficients en fonction de a et b.
4) La matrice \(\begin{pmatrix} 1/3 & 4\\ -4 & 2/3 \end{pmatrix}\) appartient-elle à ξ ?
5) Exprimer J² en fonction de I, et montrer que J²∈ ξ.
6) Montrer que φ(a;b) = φ(a';b') <=> a = a' et b = b'
7) Montrer que ξ est stable par addition et multiplication, c'est-à-dire que si M et M' appartiennt à ξ, alors M+M et MM' également.
--> Pour la 1) du coup :
7I = \(\begin{pmatrix} 7 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}\)
3J= \(\begin{pmatrix} 0 & 3\\ -3 & 0 \end{pmatrix}\)
7I + 3J= \(\begin{pmatrix} 7 & 3\\ -3 & 7 \end{pmatrix}\)
-5I = \(\begin{pmatrix} -5 & 0\\ 0 & -5 \end{pmatrix}\)
2J= \(\begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0 \end{pmatrix}\)
-5I + 2J= \(\begin{pmatrix} -5 & 2\\ -2 & -5 \end{pmatrix}\)
Voici l'énoncé (un peu plus propre):
On considère la matrice I= \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}\) et J= \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
On note M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que R² est le produit cartésien de R par lui-même c'est-à-dire l'ensemble des couples (a;b) où a∈R et b∈R. On note φ la fonction de R² dans M2R telle que φ(a;b) = aI + bJ.
On note enfin ξ le sous ensemble de M2(R) constitué des matrices qui sont l'image d'un couple (a;b) de R² par φ:
ξ= {M∈M2(R) / M= φ (a;b) où a∈R et b∈R}
1) Calculer φ(7;3) et φ(-5;2). On donnera la réponse sous forme d'un matrice carrée.
2) Montrer que I et J appartiennent à ξ. Autrement dit, trouver les couples (a;b) dont I et J sont les images.
3) Soit M une matrice de ξ. Exprimer M en explicitant ses quatre coefficients en fonction de a et b.
4) La matrice \(\begin{pmatrix} 1/3 & 4\\ -4 & 2/3 \end{pmatrix}\) appartient-elle à ξ ?
5) Exprimer J² en fonction de I, et montrer que J²∈ ξ.
6) Montrer que φ(a;b) = φ(a';b') <=> a = a' et b = b'
7) Montrer que ξ est stable par addition et multiplication, c'est-à-dire que si M et M' appartiennt à ξ, alors M+M et MM' également.
--> Pour la 1) du coup :
7I = \(\begin{pmatrix} 7 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}\)
3J= \(\begin{pmatrix} 0 & 3\\ -3 & 0 \end{pmatrix}\)
7I + 3J= \(\begin{pmatrix} 7 & 3\\ -3 & 7 \end{pmatrix}\)
-5I = \(\begin{pmatrix} -5 & 0\\ 0 & -5 \end{pmatrix}\)
2J= \(\begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0 \end{pmatrix}\)
-5I + 2J= \(\begin{pmatrix} -5 & 2\\ -2 & -5 \end{pmatrix}\)
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Re: Matrices
Bonjour,
tes calculs sont corrects
Pour la 2, il faut trouver un couple \((a,b)\) tel que \(aI+bJ=I\), ce qui donne \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) Cela devrait être facile à trouver. Ou encore plus simplement \(1\times I+0\times J=I\)
Pour \(J\), il faut trouver un couple \((a,b)\) tel que \(aI+bJ=J\), ce qui donne \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) Cela devrait être facile à trouver. Ou encore plus simplement \(0\times I+1\times J=J\)
Bonne suite
tes calculs sont corrects
Pour la 2, il faut trouver un couple \((a,b)\) tel que \(aI+bJ=I\), ce qui donne \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) Cela devrait être facile à trouver. Ou encore plus simplement \(1\times I+0\times J=I\)
Pour \(J\), il faut trouver un couple \((a,b)\) tel que \(aI+bJ=J\), ce qui donne \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) Cela devrait être facile à trouver. Ou encore plus simplement \(0\times I+1\times J=J\)
Bonne suite
Re: Matrices
Merci !
Pour I :
aI + bJ= I
\(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Donc a=1 et b=0. La matrice I est l'image du couple (1;0).
Pour J :
aI + bJ= J
\(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
Donc a=0 et b=1. La matrice J est l'image du couple (0;1).
Cela suffit pour prouver que I et J appartiennent à ξ ?
Pour I :
aI + bJ= I
\(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Donc a=1 et b=0. La matrice I est l'image du couple (1;0).
Pour J :
aI + bJ= J
\(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
Donc a=0 et b=1. La matrice J est l'image du couple (0;1).
Cela suffit pour prouver que I et J appartiennent à ξ ?
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Re: Matrices
Oui, cela suffit, mais tu peux faire plus simple. Tu n'es pas obligée de rédiger avec les matrices.
I = 1I + 0J = \(\varphi \left ( 1;0 \right )\)
J = 0I + 1J = \(\varphi \left ( 0;1 \right )\)
Bonne continuation,
Sosmaths
I = 1I + 0J = \(\varphi \left ( 1;0 \right )\)
J = 0I + 1J = \(\varphi \left ( 0;1 \right )\)
Bonne continuation,
Sosmaths
Re: Matrices
D'accord.
Pour la 3), M= φ (a;b) = aI + bJ
Mais dans la question précédente, j'ai trouvé deux valeurs de a différentes: 1 et 0 et deux valeurs de b différentes: 1 et 0. Je dois prendre lesquelles pour trouver la matrice M ? Je peux faire tout simplement M= 1I + 0J ?
Pour la 3), M= φ (a;b) = aI + bJ
Mais dans la question précédente, j'ai trouvé deux valeurs de a différentes: 1 et 0 et deux valeurs de b différentes: 1 et 0. Je dois prendre lesquelles pour trouver la matrice M ? Je peux faire tout simplement M= 1I + 0J ?
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Re: Matrices
Bonjour Lisa,
A la question 3), tu reviens dans le cas général. La matrice \(M= φ (a;b) = aI + bJ\). Écris simplement cette matrice avec les nombres réels \(a\) et \(b\). En fait, tu as déjà utilisé cette écriture.
Bonne continuation.
A la question 3), tu reviens dans le cas général. La matrice \(M= φ (a;b) = aI + bJ\). Écris simplement cette matrice avec les nombres réels \(a\) et \(b\). En fait, tu as déjà utilisé cette écriture.
Bonne continuation.
Re: Matrices
3) M= \(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)
C'est bon ? :)
4) La matrice \(\begin{pmatrix} 1/3 & 4\\ -4 & 2/3 \end{pmatrix}\) n'appartient pas à ξ, car a= 1/3 est différent de a=2/3.
= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)
C'est bon ? :)
4) La matrice \(\begin{pmatrix} 1/3 & 4\\ -4 & 2/3 \end{pmatrix}\) n'appartient pas à ξ, car a= 1/3 est différent de a=2/3.
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Re: Matrices
Bonjour,
tes réponses sont correctes.
Bonne continuation
tes réponses sont correctes.
Bonne continuation
Re: Matrices
Super merci !
Pour la 5) je pense avoir trouvé:
J²= \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
Donc J²= -1*I= -I
La matrice J² appartient à ξ, car a=-1 et b=0 (-0=0).
Pour la 6) je suis de nouveau bloquée, je dois résoudre un système ?
Pour la 5) je pense avoir trouvé:
J²= \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
Donc J²= -1*I= -I
La matrice J² appartient à ξ, car a=-1 et b=0 (-0=0).
Pour la 6) je suis de nouveau bloquée, je dois résoudre un système ?
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Re: Matrices
Bonjour,
oui c'est bon.
Pour la 6, c'est très rapide car tu identifies les coefficients emplacement par emplacement, ce qui te donnera vite \(a=a'\) et \(b=b'\).
Pour la 7 c'est extrêmement simple aussi : il suffit d'écrire les conditions et cela se déduit rapidement.
Bonne continuation
oui c'est bon.
Pour la 6, c'est très rapide car tu identifies les coefficients emplacement par emplacement, ce qui te donnera vite \(a=a'\) et \(b=b'\).
Pour la 7 c'est extrêmement simple aussi : il suffit d'écrire les conditions et cela se déduit rapidement.
Bonne continuation
Re: Matrices
Pour la 6):
φ(a;b) = \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)
φ(a';b')= \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
a=a'
b=b'
-b=-b'
--> Donc φ(a;b) = φ(a';b').
Pour la 7):
Comme on l'a démontré à la question 3), M est une matrice de ξ. Puisque φ(a;b) = φ(a';b'), alors M=M' et donc M' appartient également à ξ.
M+M'= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
A ce niveau j'additionne simplement les matrices ?
φ(a;b) = \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)
φ(a';b')= \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
a=a'
b=b'
-b=-b'
--> Donc φ(a;b) = φ(a';b').
Pour la 7):
Comme on l'a démontré à la question 3), M est une matrice de ξ. Puisque φ(a;b) = φ(a';b'), alors M=M' et donc M' appartient également à ξ.
M+M'= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
A ce niveau j'additionne simplement les matrices ?