suites recurrente
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Bonjour, pourriez vous m'aider.. voilà une suite Un définie par Uo=1 pour tout n appartenant a N.
et U( n+1)=3-Un/( 8-5Un).
Démontrer par récurrence 0<=U(n+1)<=Un<=1 .Pouvez vous m'aider c'est urgent merci
et U( n+1)=3-Un/( 8-5Un).
Démontrer par récurrence 0<=U(n+1)<=Un<=1 .Pouvez vous m'aider c'est urgent merci
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Re: suites recurrente
Bonsoir Julie,
Pour commencer tu peux étudier les variations de la fonctions \( f(x) = \frac{3-x}{8-5x}\) ... en principe tu vas montrer que f est croissante sur [0 ; 1].
Ensuite avec ton hypothèse de récurrence 0<=U(n+1)<=Un<=1 et f croissante sur [0 ; 1 ] tu auras alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1).
Et comme on a choisit f telle que u(n+1) = f(u(n)), alors on aura f(0) <= u(n+2) <= n(n+1) <= f(1)
Mais comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. don tu auras montré le rang (n+1).
Bon courage,
SoSMath.
Pour commencer tu peux étudier les variations de la fonctions \( f(x) = \frac{3-x}{8-5x}\) ... en principe tu vas montrer que f est croissante sur [0 ; 1].
Ensuite avec ton hypothèse de récurrence 0<=U(n+1)<=Un<=1 et f croissante sur [0 ; 1 ] tu auras alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1).
Et comme on a choisit f telle que u(n+1) = f(u(n)), alors on aura f(0) <= u(n+2) <= n(n+1) <= f(1)
Mais comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. don tu auras montré le rang (n+1).
Bon courage,
SoSMath.
Re: suites recurrente
On demande par récurrence
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Re: suites recurrente
Bonsoir Julie,
j'ai bien compris ...
* Pour le 1er rang, je te laisse vérifier que 0 <= u1 <= u0 <= 1.
* hérédité : ton hypothèse de récurrence est 0<=U(n+1)<=Un<=1.
Après avoir montré que f est croissante sur [0 ; 1], tu as alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1) qui donne f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1)
et comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. Donc tu as montré le rang (n+1). Ce qui prouve l'hérédité.
* reste à faire la conclusion.
SoSMath.
j'ai bien compris ...
* Pour le 1er rang, je te laisse vérifier que 0 <= u1 <= u0 <= 1.
* hérédité : ton hypothèse de récurrence est 0<=U(n+1)<=Un<=1.
Après avoir montré que f est croissante sur [0 ; 1], tu as alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1) qui donne f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1)
et comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. Donc tu as montré le rang (n+1). Ce qui prouve l'hérédité.
* reste à faire la conclusion.
SoSMath.
Re: suites recurrente
Bonjour pour 0<=u(n)<=1 okSoS-Math(9) a écrit : ↑dim. 1 nov. 2020 00:07Bonsoir Julie,
j'ai bien compris ...
* Pour le 1er rang, je te laisse vérifier que 0 <= u1 <= u0 <= 1.
* hérédité : ton hypothèse de récurrence est 0<=U(n+1)<=Un<=1.
Après avoir montré que f est croissante sur [0 ; 1], tu as alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1) qui donne f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1)
et comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. Donc tu as montré le rang (n+1). Ce qui prouve l'hérédité.
* reste à faire la conclusion.
SoSMath.
Mais u(n+1)<=u(n) vraie par hypothèse
Donc f(u(n+1))<=f(u(n)) donc u(n+2)<=u(n+1)
je voit pas comment c'est possible j'ai rien démontré
Merci
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Re: suites recurrente
Bonjour,
si tu as démontré la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,1]\), alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,1]\), tels que \(a<b\), alors si \(f\) est croissante sur \([0\,;\,1]\), on a \(f(a)\leqslant f(b)\) : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation
si tu as démontré la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,1]\), alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,1]\), tels que \(a<b\), alors si \(f\) est croissante sur \([0\,;\,1]\), on a \(f(a)\leqslant f(b)\) : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation
Re: suites recurrente
Merci pour votre réponsesos-math(21) a écrit : ↑dim. 1 nov. 2020 08:44Bonjour,
si tu as démontré la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,1]\), alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,1]\), tels que \(a<b\), alors si \(f\) est croissante sur \([0\,;\,1]\), on a \(f(a)\leqslant f(b)\) : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation
Si u0=5 alors u1=f(u0)=2/7
Donc
Au rang 1 u1<= u0
Supposons u(n+1)<=u(n)
Hérédité f est croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
donc u(n+2)<=u(n+1)
Estce que c'est correct
-----------
bonjour,
je réponds dans ton message car le forum est fermé.
Oui c'est correct !
Bon courage,
SoSMath.
Re: suites recurrente
bonjour pour u0=5Invité a écrit : ↑dim. 1 nov. 2020 11:51Merci pour votre réponsesos-math(21) a écrit : ↑dim. 1 nov. 2020 08:44Bonjour,
si tu as démontré la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,1]\), alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,1]\), tels que \(a<b\), alors si \(f\) est croissante sur \([0\,;\,1]\), on a \(f(a)\leqslant f(b)\) : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation
Si u0=5 alors u1=f(u0)=2/7
Donc
Au rang 1 u1<= u0
Supposons u(n+1)<=u(n)
Hérédité f est croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
donc u(n+2)<=u(n+1)
Estce que c'est correct
-----------
bonjour,
je réponds dans ton message car le forum est fermé.
Oui c'est correct !
Bon courage,
SoSMath.
on a bien u1=f(u0)=2/7
donc u1<u0
je suppose que u(n+1)<u(n) soit vrai
hérédité: je fait f(u(n+1))<f(u(n) puisque f est croissante
donc u(n+2)<u(n+1)
je conclut que u(n+1)<u(n) est vrai pour tout n naturel
Mais en calculant les 5 premiers terme je trouve u2>u1 u3>u2 u4>u3
c'est complétement le contraire
je voit l'erreur
merci
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Re: suites recurrente
Bonjour Julie,
Il me semble que d'après ton énoncé, \(u_{0}=1\) alors que tu as utilisé \(u_{0}=5\).
Ainsi : \(u_{1}=\frac{3-1}{8-5\times 1}=\frac{2}{3}\)
De la même façon, \(u_{2}=0,5\)...
Ainsi, L'observation des premiers termes montre qu'il n'y a pas d'incohérence avec ce que tu as démontré, la suite est bien décroissante.
Bonne continuation,
Sosmaths
Il me semble que d'après ton énoncé, \(u_{0}=1\) alors que tu as utilisé \(u_{0}=5\).
Ainsi : \(u_{1}=\frac{3-1}{8-5\times 1}=\frac{2}{3}\)
De la même façon, \(u_{2}=0,5\)...
Ainsi, L'observation des premiers termes montre qu'il n'y a pas d'incohérence avec ce que tu as démontré, la suite est bien décroissante.
Bonne continuation,
Sosmaths
Re: suites recurrente
Bonjour oui, mais si u0=5 on doit arriver à la même conclusionSoS-Math(34) a écrit : ↑lun. 2 nov. 2020 16:49Bonjour Julie,
Il me semble que d'après ton énoncé, \(u_{0}=1\) alors que tu as utilisé \(u_{0}=5\).
Ainsi : \(u_{1}=\frac{3-1}{8-5\times 1}=\frac{2}{3}\)
De la même façon, \(u_{2}=0,5\)...
Ainsi, L'observation des premiers termes montre qu'il n'y a pas d'incohérence avec ce que tu as démontré, la suite est bien décroissante.
Bonne continuation,
Sosmaths
U0=5 , u1=f(u0)=2/7
Donc u1<=u0 vrai
Hypothèse u(n+1)<=u(n) vrai
Hérédité f croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
Donc u(n+2)<=u(n+1)
Conclusion u(n+1)<=u(n) pour tout.n
Mais le calcul de u1 u2 u3 .... montre le contraire
Pourtant j'ai suivit les conseil de vos collègues à moins que je me trompe quel que part ?
Merci de votre réponse
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Re: suites recurrente
Julie,
ce sont tes calculs qui sont faux ... u1 = (3-1)/(8-5*1) = 2/3 (environ 0,67)
puis u2 = (3-2/3)/(8-5*2/3) = 1/2 = 0,5
On a donc bien u0=1 > u1=2/3 > u2=1/2
SoSMath.
ce sont tes calculs qui sont faux ... u1 = (3-1)/(8-5*1) = 2/3 (environ 0,67)
puis u2 = (3-2/3)/(8-5*2/3) = 1/2 = 0,5
On a donc bien u0=1 > u1=2/3 > u2=1/2
SoSMath.
Re: suites recurrente
Ici on prend u0=5 et non1SoS-Math(9) a écrit : ↑lun. 2 nov. 2020 18:57Julie,
ce sont tes calculs qui sont faux ... u1 = (3-1)/(8-5*1) = 2/3 (environ 0,67)
puis u2 = (3-2/3)/(8-5*2/3) = 1/2 = 0,5
On a donc bien u0=1 > u1=2/3 > u2=1/2
SoSMath.
Avec u0= 1 c'est fait
Ici u0=5 si on utilise la même démarche ça coince
Puisque u1=2/7 pour u0=5
U1<=u0 vrai
Supposons un+1<=un vrai
Hérédité : croissante alors f(u(n+1))<=f(u(n))
Donc u(n+2)<=u(n+1)
Maus le calcul.de u1 u2 u3... montre que c'est le contraire
Ici u0=5
Merci
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Re: suites recurrente
Julie,
Le fait de changer le terme u0, change les autres termes de la suite et donc cela peut changer les variations de la suites.
.De plus si tu prends u0 = 5, alors u0\(\notin\)[0 ; 1], or on sait que f est croissante sur [0 ; 1] mais on ne sait pas sur un intervalle qui contient 5 ... pour savoir il faut faire l'étude complète sur son ensemble de définition.
SoSMath.
Le fait de changer le terme u0, change les autres termes de la suite et donc cela peut changer les variations de la suites.
.De plus si tu prends u0 = 5, alors u0\(\notin\)[0 ; 1], or on sait que f est croissante sur [0 ; 1] mais on ne sait pas sur un intervalle qui contient 5 ... pour savoir il faut faire l'étude complète sur son ensemble de définition.
SoSMath.
Re: suites recurrente
Ma question :pourquoi :SoS-Math(9) a écrit : ↑lun. 2 nov. 2020 21:18Julie,
Le fait de changer le terme u0, change les autres termes de la suite et donc cela peut changer les variations de la suites.
.De plus si tu prends u0 = 5, alors u0\(\notin\)[0 ; 1], or on sait que f est croissante sur [0 ; 1] mais on ne sait pas sur un intervalle qui contient 5 ... pour savoir il faut faire l'étude complète sur son ensemble de définition.
SoSMath.
Uo=1 . Uo=5
U1<u0 vrai . . .......idem
Hyp un+1<=un vrai ... idem
f croissante donc . .idem
Un+2<=un+1 ca marche ça marche pas.?
Pourtant j'ai utilisé même conseil le votre.
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Re: suites recurrente
Bonsoir Julie,
tu ne peux pas te faire une idée pour ta récurrence sur le calcul que des deux premiers termes, il faut en calculer plusieurs.
Ici si tu parts avec U0=5 tu vas avoir U1<U0 mais ensuite U2>U1 puis U3>U2 donc pour ton initialisation il faut partir de U1 et non U0 ainsi tu montreras le résultat sur N*
Comprends tu?
SoS-math
tu ne peux pas te faire une idée pour ta récurrence sur le calcul que des deux premiers termes, il faut en calculer plusieurs.
Ici si tu parts avec U0=5 tu vas avoir U1<U0 mais ensuite U2>U1 puis U3>U2 donc pour ton initialisation il faut partir de U1 et non U0 ainsi tu montreras le résultat sur N*
Comprends tu?
SoS-math