Bonjour, Bonsoir,
J'ai un problème. On me demande quel est l'ensemble de définition de ln(x²) sachant que ln(x²) = ln(x) + ln(x). Je ne sais pas quoi répondre, car si x<0, cela fonctionne dans la partie gauche de l'équation, mais pas sur la partie droite. Mais pourtant, cette équation est vérifiée. Quelqu'un serait m'aider ? Merci.
Logarithme népérien, ensemble de définition
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sos-math(21)
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Re: Logarithme népérien, ensemble de définition
Bonjour,
si tu considères uniquement l'expression \(\ln(x^2)\), celle-ci est définie si \(x^2>0\) donc si \(x\in]-\infty\,;\, 0[\cup]0\,;\,+\infty[\).
En revanche, dès que tu écris \(\ln(x^2)=2\ln(x)\), celle-ci n'a de sens que si toutes les expressions composant cette égalité sont définies, ce qui impose \(x>0\), donc restreint le domaine de validité de ton égalité à \(]0\,;\,+\infty[\).
La règle que tu utilises : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\) n'est définie que pour \(a>0\) et \(b>0\).
C'est un peu comme lorsque tu écris \(\sqrt{(-5)\times (-5)}=\sqrt{25}=5\) et que tu cherches à appliquer à cette écriture la règle \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\) : celle-ci n'est définie que pour \(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\), donc elle interdit de décomposer en deux produits, ce qui n'empêche pas la racine carrée du produit d'être définie.
Je ne sais pas si je t'ai convaincu car c'est assez subtil.
Bonne continuation.
si tu considères uniquement l'expression \(\ln(x^2)\), celle-ci est définie si \(x^2>0\) donc si \(x\in]-\infty\,;\, 0[\cup]0\,;\,+\infty[\).
En revanche, dès que tu écris \(\ln(x^2)=2\ln(x)\), celle-ci n'a de sens que si toutes les expressions composant cette égalité sont définies, ce qui impose \(x>0\), donc restreint le domaine de validité de ton égalité à \(]0\,;\,+\infty[\).
La règle que tu utilises : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\) n'est définie que pour \(a>0\) et \(b>0\).
C'est un peu comme lorsque tu écris \(\sqrt{(-5)\times (-5)}=\sqrt{25}=5\) et que tu cherches à appliquer à cette écriture la règle \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\) : celle-ci n'est définie que pour \(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\), donc elle interdit de décomposer en deux produits, ce qui n'empêche pas la racine carrée du produit d'être définie.
Je ne sais pas si je t'ai convaincu car c'est assez subtil.
Bonne continuation.