Pourriez-vous me donner un argument qui me permette de comprendre qu'un segment contienne une infinité de points alors qu'il a une longueur finie ?
(des connaissances de terminale sont-elles utiles ?)
merci beaucoup,
Cédric
fini et infini
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Invité
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Bonjour,
On peut comparer un segment à un intervalle de IR. Par exemple un segment[A,B] de longueur 1, peut être comparé à l'intervalle [0,1]. Chaque point du segment correspond à un réel unique de l'intervalle(son abscisse)
Donc il y a autant de points sur [AB] que de réels dans [0,1].
Pour monter qu'il y a une infinité de points dans [AB], il suffit donc de montrer qu'il y a une infinité de réels dans [0,1].
Raisonnement par l'absurde:
Supposons qu'il y a un nombre fini de réels dans [0,1] et supposons que ce nombre soit n, n entier naturel.
Si l'on met ces réels dans l'ordre croissant on peut les écrire : \(a_1, a_2, a_3, ......, a_n.\)
Considérons le réel \(\frac{a_{n-1}+a_n}{2}}\)
Ce réel est entre \(a_{n-1}\) et \(a_{n}\). Vérifiez le.
Donc il est dans [0,1].
Or il ne fait pas partie de la liste de départ. IL y a donc contradiction avec le fait que [0,1] contienne un nombre fini d'éléments. Donc [0,1] contient une infinité de réels, et donc [A,B] une infinité de points.
Bonne lecture en espérant qu'elle vous éclaire.
SoS-Math
On peut comparer un segment à un intervalle de IR. Par exemple un segment[A,B] de longueur 1, peut être comparé à l'intervalle [0,1]. Chaque point du segment correspond à un réel unique de l'intervalle(son abscisse)
Donc il y a autant de points sur [AB] que de réels dans [0,1].
Pour monter qu'il y a une infinité de points dans [AB], il suffit donc de montrer qu'il y a une infinité de réels dans [0,1].
Raisonnement par l'absurde:
Supposons qu'il y a un nombre fini de réels dans [0,1] et supposons que ce nombre soit n, n entier naturel.
Si l'on met ces réels dans l'ordre croissant on peut les écrire : \(a_1, a_2, a_3, ......, a_n.\)
Considérons le réel \(\frac{a_{n-1}+a_n}{2}}\)
Ce réel est entre \(a_{n-1}\) et \(a_{n}\). Vérifiez le.
Donc il est dans [0,1].
Or il ne fait pas partie de la liste de départ. IL y a donc contradiction avec le fait que [0,1] contienne un nombre fini d'éléments. Donc [0,1] contient une infinité de réels, et donc [A,B] une infinité de points.
Bonne lecture en espérant qu'elle vous éclaire.
SoS-Math