Intégarles et suites

[Invité]

Bonopur, j'ai un dm à faire mais je suis bloquée à une question, dont voici l'énoncé..

Jn= intégrale de 0 à n de f(x)dx..
f est définie par f(x)= 1/ [e(x)+e(-x)]
g est définie par g(x) = 1/e(x)
h est définie par h(x) = 1/(2e(x))

Dans les questions précédente j'ai démontrer que :
h(x)< f(x)< g(x)
1/2(1-e(-n)) < Jn < 1-e(-n)
or 1/2(1-e(-n)) est la primitive de h(x) et 1-e(-n) est la primitive de g(x)

Il faut que je démontre que la suite (Jn) est croissante... Mais comment faire ? J'ai pensé à montré que comme 1/2(1-e(-n)) est croissant et que 1-e(-n) l'est aussi alors Jn est croissante mais je ne sais pas si ce théorème existe..

Merci d'avance pour votre aide
Susie

[SoS-Math(10)]

Bonsoir,

Votre théorème est faux. L'encadrement ne donne rien en ce qui concerne la monotonie de Jn. (A mon avis, il doit servir pour une autre question).
Pour étudier la monotonie d'une suite , une première idée est d'étudier le signe de :Jn+1 - Jn. Avec la relation de Chales, votre intégrale va se simplifier. Comment peut-on connaître le signe d'une integrale?

Bon courage

[Invité]

Bonjour,
J'ai un problème pour calculer Jn+1 -Jn.. Car je ne sais pas ce que vaut Jn.. Est ce que Jn est égal à : 1/ [e(x)+e(-x) + 1] ?
Merci beaucoup et par avance pour votre aide
Susie

[SoS-Math(5)]

Bonjour Susie
Il faut écrire \(J_{n+1} -J_n\) sous la forme d'une seule intégrale :
\(J_{n+1} -J_n=\int_0^{n+1}f(x)dx-\int_0^{n}f(x)dx=\int_{...}^{...}...~dx\)Et ensuite, il faut dire si cette intégrale est positive ou négative

J'ai un problème pour calculer Jn+1 -Jn.. Car je ne sais pas ce que vaut Jn.. Est ce que Jn est égal à : 1/ [e(x)+e(-x) + 1] ?

Donc il n'y apas besoin de la calculer, seulement trouver son signe.
A bientôt.

[Invité]

Bonjour,

D'accord j'ai compris:
Jn+1-Jn = intégrale de n à n+1 de f(x) dx.. n+1>n donc l'intégrale est positve et donc la suite est croissante...
Cela suffit comme justification ?


Merci beaucoup pour votre aide


Susie

[SoS-Math(10)]

Bonsoir

Il faut aussi preciser que f est positive sur [n ; n+1] pour tout entier n

sos math