SOS-MATH

Bonjour;

Soit la suite de point \(M_n\) du plan complexe d'affixe \(Z_n\) telle de \(Z_0=8\) et pour tout \(n\) appartenant \(\mathbb{N}\) ....

1)on me demande de déterminer le module et l'argument de \(1+i \sqrt{3}\) puis déduire \(M_{n+1}\) est l'image de \(M_n\) avec une composée de rotation et homothétie .

j'ai résolue cette question mais c'est la deuxième qui me pose un problème, je ne sait comment la traitée.

2) soit \(\theta_n= arg(Z_n)~~~~[2\pi].\). Montrer qui la suite \((\theta_n)\) avec \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\) est une suite périodique.

Si vous pouviez m'aider je vous en remercie d'avance .

Elodie

Bonjour Elodie
Votre problème a l'air très interessant mais il manque la formule de récurrence \(Z_{n+1}\) en fonction de \(Z_n\)
A bientôt.

je suis désolé voici la formule \(Z_{n+1}=\frac14 \left(1+i \sqrt{3}\right)\)

Bonjour
Je suis désolé mais vous êtes vraiment fachée avec les formules de récurrence !
Vous avez écrit :

Elève a écrit :\(Z_{n+1}=\frac14 \left(1+i \sqrt{3}\right)\)

Mais je pense qu'il faut lire :
\(Z_{n+1}=\frac14 \left(1+i \sqrt{3}\right)\color{red}Z_n\)
C'est ça ?
Si c'est ça, cela permet de faire la question 2. En effet, \(\arg(Z_{n+1})=\theta_{n+1}\) peut être exprimé en fonction de \(\arg(Z_{n})=\theta_{n}\)
A vous de jouer !

oui c'est çà mais je ne voit pas comment démontré ...oui... je suis fâché avec les formules surtout quand sa concerne les suites :)

faut t'il que je calcul argument de Zn+1 puis que je remplace dans la formule avec Zn ?? L'argument que j'ai déjà chercher c'est bien Zn ?

Ah, fachée avec les suites ?
Pas grave, il suffit seulement d'avoir compris que la formule ci-dessous :
\(Z_{n+1}=\frac14 \left(1+i \sqrt{3}\right)\color{red}Z_n\)
est de la forme :
\(Z_{n+1}=K \times \color{red} \Z_n\)
Ce qui signfie que l'on obtient le terme \(Z_{n+1}\) en multipliant le terme précédent \(\color{red}Z_n\) par le nombre complexe \(K\).
Donc on peut en déduire l'argument de \(Z_{n+1}\) en fonction de l'argument de \(\color{red}Z_{n}\)
Bon courage Elodie.