SOS-MATH

Bonjour
Je rencontre quelques problèmes avec cet exercice.

Dans un village de montagne, deux familles disposent de 5 circuits balisés de promenades sans point commun.
1) Chaque matin, chacune des familles choisit au hasard et indépendamment de l'autre un circuit de promenade.
a) Combien y a-t-il de tirages possibles pour l'ensemble des 2 familles
b) Quelle est la probabilité pour qu'elles parcourent le même jour le même circuit?
c) Quelle est la probabilité pour que, pendant n jours consécutifs, elles ne se rencontrent pas?
d) Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou égale à 0,9.

Je n'arrive pas à commencer cet exercice. Pouvez-vous m'aider?
Merci beaucoup
Antoine

Bonsoir,

Vous pouvez représenter chaque possibilité par un couple.

par exemple le couple ( C2,C4) signifie que la famille F1 a parcouru ce jour le circuit C2 et la famille F2 a parcouru le circuit C4.
Ainsi il y a autant de possibilités pour ces deux familles que de couples différents.

Vous pouvez aussi représenter cette situation par un tableau à double entrée, en ligne les 5 circuits, et en colonne les 2 familles. Un choix de promenade pour les 2 familles, se fait en mettant deux croix dans ce tableau.

La situation peut également être représentée par un arbre.
De la racine de l'arbre sont issues 5 branches, qui représentent les 5 circuits possibles pour la famille n°1, et de chaque branche sont issues 5 branches qui représentent les 5 choix possibles pour la famille n°2. Le nombre d'extrémités de cet arbre donne le nombre de possibilités pour les deux familles.

L'exploitation de ces représentations permet facilement de répondre à a) et b)

Pour c) et d) il s'agit de la répétition de la même expérience n fois. C'est une loi binomiale qui modélise cette situation.

Bon courage

Sosmath

Bonjour

Voici mes résultats
1)a) 25 tirages possibles
b) p=5/25=1/5
c) Je trouve nul part dans mon cours ce qu'est une loi binomiale. Pouvez-vous m'expliquer avec l'exemple de cet exercice?

Merci et à bientôt

Bonsoir,
vos probabilités sont justes.
N'avez-vous pas entendu parler du schéma de Bernoulli? La question de votre exercice est une application directe de ce schéma.
Vous pouvez lire l'article suivant :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale
Bon courage

Bonsoir

Voici comment j'ai rédigé
c) Soit X le nombre de jours où les deux familles font le même circuit. Ici, on souhaite calculer la probabilité pour qu'elles ne se rencontrent pas pendant n jours consécutifs, on a donc X=0. On sait donc que X suit une loi binomiale avec n et p=1/5 On peut écrire p(X=0)=(4/5)^n

d) Je sais que p(X\(\geq\)1) mais je ne vois pas comment continuer étant donné que c'est une inégalité

Pouvez-vous me dire si ma rédaction de la question c) est correcte et m'aider pour la d)

Merci beaucoup
Antoine

bonsoir,

c) c'est juste, bravo.
d)Le contraire de l'évènement (X=0) est l'évènement (X>=1)
Donc P(X>=1)=1-P(X=0)

Je pense que vous pouvez terminer.

sosmaths

Bonjour

Voici ce que je trouve
d) La probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est le contraire de la probabilité p(X=0), elle se note p(X>=1)
On a ainsi P(X<=1)=1-p(X=0)
=1-(4/5)^n
On souhaite que p(X>=1)>=0,9
On résoud donc 1-(4/5)^n>=0,9
(4/5)^n<=0,1
n>=(ln0,1)/(ln(4/5))=10,32
On a donc n=11

La rédaction est-elle correcte?
Merci beaucoup et à bientôt

bonjour,
votre démarche semble correcte.

sos math

Bonjour

Dans l'exercice il y a une deuxième partie que je n'arrive pas à faire, en voici l'énoncé:
On considère dans cette question deux jours consécutifs. Le deuxième jour, chaque famille élimine de son choix le circuit qu'elle a fait la veille. On note E l'événement:"les deux familles choisissent le même circuit le premier jour" et F l'événement:"les deux familles choisissent le même circuit le deuxième jour".
Calculer les probabilités suivantes: p(E), pE(F), P\(\overline{E}\)(F), p(F\(\cap\)E) et p(F\(\cap\)\(\overline{E}\)). En déduire p(F).

Par observation de l'arbre de probabilité, on a: p(E)=5/25=1/5
Je n'arrive pas à trouver les autres probabilités. Pouvez-vous m'aider?
Merci

bonjour

P(E) est juste. Dans cette deuxième partie, afin d'avoir la valeur de P(F), il vous faut construire un autre arbre résulant de la nouvelle contrainte. une fois l'arbre fait votre exercice se finira rapidement.
bon courage

Bonjour

J'avais bien penser qu'il fallait construire un arbre mais je ne vois pas comment le faire.

Merci
A bientôt

Bonjour,

Vous allez faire l'arbre suivant :

De la racine de l'arbre, vous faites partir deux branches qui correspondent aux évènements E et \(\overline{E}\)
Sur la première branche vous mettez P(E)=1/5 et sur l'autre \(P(\overline{E})\)=4/5

De chacune de ces 2 branches vous faites partir 2 autres branches, F et \(\overline{F}\)

Vous obtenez ainsi un arbre à 4 extrémités et 6 branches.
Pour compléter cette arbre il faut mettre les probabilités sur les 4 branches vides.

La première branche, vous écrivez P(F) sachant E. (Tex ne fonctionne pas) et vous calculer cette probabilité. Ce n'est pas trop dur car les 2 familles ont choisi le même parcours le 1er jour, puisque on suppose E réalisé.
Sur la deuxième branche vous écrivez P(nonF) sachant E, et vous calculez la probabilité.
Et puis vous continuez pour les 2 autres branches.

Ensuite pour P(E inter F), vous appliquez une formule du cours, et pour P(F) enfin , la formule des probabilités totales.

Bon courage
SOSmaths

Bonjour

Je comprends bien votre démarche mais je ne vois toujours pas comment calculer p(F) sachant E.

Pouvez-vous encore m'aider
Merci beaucoup

Bonjour
Puisque E et F sont indépendants, P(E sachant F) est égal à ...
Bon courage.

p(E sachant F)=p(E inter F)/p(E) mais je ne vois pas comment on peut faire vu qu'on ne connaît pas p(E inter F)