Bonjour
Je rencontre quelques problèmes avec cet exercice.
Dans un village de montagne, deux familles disposent de 5 circuits balisés de promenades sans point commun.
1) Chaque matin, chacune des familles choisit au hasard et indépendamment de l'autre un circuit de promenade.
a) Combien y a-t-il de tirages possibles pour l'ensemble des 2 familles
b) Quelle est la probabilité pour qu'elles parcourent le même jour le même circuit?
c) Quelle est la probabilité pour que, pendant n jours consécutifs, elles ne se rencontrent pas?
d) Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou égale à 0,9.
Je n'arrive pas à commencer cet exercice. Pouvez-vous m'aider?
Merci beaucoup
Antoine
probabilités
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Invité
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Bonsoir,
Vous pouvez représenter chaque possibilité par un couple.
par exemple le couple ( C2,C4) signifie que la famille F1 a parcouru ce jour le circuit C2 et la famille F2 a parcouru le circuit C4.
Ainsi il y a autant de possibilités pour ces deux familles que de couples différents.
Vous pouvez aussi représenter cette situation par un tableau à double entrée, en ligne les 5 circuits, et en colonne les 2 familles. Un choix de promenade pour les 2 familles, se fait en mettant deux croix dans ce tableau.
La situation peut également être représentée par un arbre.
De la racine de l'arbre sont issues 5 branches, qui représentent les 5 circuits possibles pour la famille n°1, et de chaque branche sont issues 5 branches qui représentent les 5 choix possibles pour la famille n°2. Le nombre d'extrémités de cet arbre donne le nombre de possibilités pour les deux familles.
L'exploitation de ces représentations permet facilement de répondre à a) et b)
Pour c) et d) il s'agit de la répétition de la même expérience n fois. C'est une loi binomiale qui modélise cette situation.
Bon courage
Sosmath
Vous pouvez représenter chaque possibilité par un couple.
par exemple le couple ( C2,C4) signifie que la famille F1 a parcouru ce jour le circuit C2 et la famille F2 a parcouru le circuit C4.
Ainsi il y a autant de possibilités pour ces deux familles que de couples différents.
Vous pouvez aussi représenter cette situation par un tableau à double entrée, en ligne les 5 circuits, et en colonne les 2 familles. Un choix de promenade pour les 2 familles, se fait en mettant deux croix dans ce tableau.
La situation peut également être représentée par un arbre.
De la racine de l'arbre sont issues 5 branches, qui représentent les 5 circuits possibles pour la famille n°1, et de chaque branche sont issues 5 branches qui représentent les 5 choix possibles pour la famille n°2. Le nombre d'extrémités de cet arbre donne le nombre de possibilités pour les deux familles.
L'exploitation de ces représentations permet facilement de répondre à a) et b)
Pour c) et d) il s'agit de la répétition de la même expérience n fois. C'est une loi binomiale qui modélise cette situation.
Bon courage
Sosmath
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SoS-Math(2)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:03
Bonsoir,
vos probabilités sont justes.
N'avez-vous pas entendu parler du schéma de Bernoulli? La question de votre exercice est une application directe de ce schéma.
Vous pouvez lire l'article suivant :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale
Bon courage
vos probabilités sont justes.
N'avez-vous pas entendu parler du schéma de Bernoulli? La question de votre exercice est une application directe de ce schéma.
Vous pouvez lire l'article suivant :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale
Bon courage
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Invité
Bonsoir
Voici comment j'ai rédigé
c) Soit X le nombre de jours où les deux familles font le même circuit. Ici, on souhaite calculer la probabilité pour qu'elles ne se rencontrent pas pendant n jours consécutifs, on a donc X=0. On sait donc que X suit une loi binomiale avec n et p=1/5 On peut écrire p(X=0)=(4/5)^n
d) Je sais que p(X\(\geq\)1) mais je ne vois pas comment continuer étant donné que c'est une inégalité
Pouvez-vous me dire si ma rédaction de la question c) est correcte et m'aider pour la d)
Merci beaucoup
Antoine
Voici comment j'ai rédigé
c) Soit X le nombre de jours où les deux familles font le même circuit. Ici, on souhaite calculer la probabilité pour qu'elles ne se rencontrent pas pendant n jours consécutifs, on a donc X=0. On sait donc que X suit une loi binomiale avec n et p=1/5 On peut écrire p(X=0)=(4/5)^n
d) Je sais que p(X\(\geq\)1) mais je ne vois pas comment continuer étant donné que c'est une inégalité
Pouvez-vous me dire si ma rédaction de la question c) est correcte et m'aider pour la d)
Merci beaucoup
Antoine
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
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Invité
Bonjour
Voici ce que je trouve
d) La probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est le contraire de la probabilité p(X=0), elle se note p(X>=1)
On a ainsi P(X<=1)=1-p(X=0)
=1-(4/5)^n
On souhaite que p(X>=1)>=0,9
On résoud donc 1-(4/5)^n>=0,9
(4/5)^n<=0,1
n>=(ln0,1)/(ln(4/5))=10,32
On a donc n=11
La rédaction est-elle correcte?
Merci beaucoup et à bientôt
Voici ce que je trouve
d) La probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est le contraire de la probabilité p(X=0), elle se note p(X>=1)
On a ainsi P(X<=1)=1-p(X=0)
=1-(4/5)^n
On souhaite que p(X>=1)>=0,9
On résoud donc 1-(4/5)^n>=0,9
(4/5)^n<=0,1
n>=(ln0,1)/(ln(4/5))=10,32
On a donc n=11
La rédaction est-elle correcte?
Merci beaucoup et à bientôt
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Invité
Bonjour
Dans l'exercice il y a une deuxième partie que je n'arrive pas à faire, en voici l'énoncé:
On considère dans cette question deux jours consécutifs. Le deuxième jour, chaque famille élimine de son choix le circuit qu'elle a fait la veille. On note E l'événement:"les deux familles choisissent le même circuit le premier jour" et F l'événement:"les deux familles choisissent le même circuit le deuxième jour".
Calculer les probabilités suivantes: p(E), pE(F), P\(\overline{E}\)(F), p(F\(\cap\)E) et p(F\(\cap\)\(\overline{E}\)). En déduire p(F).
Par observation de l'arbre de probabilité, on a: p(E)=5/25=1/5
Je n'arrive pas à trouver les autres probabilités. Pouvez-vous m'aider?
Merci
Dans l'exercice il y a une deuxième partie que je n'arrive pas à faire, en voici l'énoncé:
On considère dans cette question deux jours consécutifs. Le deuxième jour, chaque famille élimine de son choix le circuit qu'elle a fait la veille. On note E l'événement:"les deux familles choisissent le même circuit le premier jour" et F l'événement:"les deux familles choisissent le même circuit le deuxième jour".
Calculer les probabilités suivantes: p(E), pE(F), P\(\overline{E}\)(F), p(F\(\cap\)E) et p(F\(\cap\)\(\overline{E}\)). En déduire p(F).
Par observation de l'arbre de probabilité, on a: p(E)=5/25=1/5
Je n'arrive pas à trouver les autres probabilités. Pouvez-vous m'aider?
Merci
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SoS-Math(10)
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Invité
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Bonjour,
Vous allez faire l'arbre suivant :
De la racine de l'arbre, vous faites partir deux branches qui correspondent aux évènements E et \(\overline{E}\)
Sur la première branche vous mettez P(E)=1/5 et sur l'autre \(P(\overline{E})\)=4/5
De chacune de ces 2 branches vous faites partir 2 autres branches, F et \(\overline{F}\)
Vous obtenez ainsi un arbre à 4 extrémités et 6 branches.
Pour compléter cette arbre il faut mettre les probabilités sur les 4 branches vides.
La première branche, vous écrivez P(F) sachant E. (Tex ne fonctionne pas) et vous calculer cette probabilité. Ce n'est pas trop dur car les 2 familles ont choisi le même parcours le 1er jour, puisque on suppose E réalisé.
Sur la deuxième branche vous écrivez P(nonF) sachant E, et vous calculez la probabilité.
Et puis vous continuez pour les 2 autres branches.
Ensuite pour P(E inter F), vous appliquez une formule du cours, et pour P(F) enfin , la formule des probabilités totales.
Bon courage
SOSmaths
Vous allez faire l'arbre suivant :
De la racine de l'arbre, vous faites partir deux branches qui correspondent aux évènements E et \(\overline{E}\)
Sur la première branche vous mettez P(E)=1/5 et sur l'autre \(P(\overline{E})\)=4/5
De chacune de ces 2 branches vous faites partir 2 autres branches, F et \(\overline{F}\)
Vous obtenez ainsi un arbre à 4 extrémités et 6 branches.
Pour compléter cette arbre il faut mettre les probabilités sur les 4 branches vides.
La première branche, vous écrivez P(F) sachant E. (Tex ne fonctionne pas) et vous calculer cette probabilité. Ce n'est pas trop dur car les 2 familles ont choisi le même parcours le 1er jour, puisque on suppose E réalisé.
Sur la deuxième branche vous écrivez P(nonF) sachant E, et vous calculez la probabilité.
Et puis vous continuez pour les 2 autres branches.
Ensuite pour P(E inter F), vous appliquez une formule du cours, et pour P(F) enfin , la formule des probabilités totales.
Bon courage
SOSmaths
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