SOS-MATH

Bonjour,
La fonction f est définie sur R par f(x)= 1/x²+3.
1)Montrez que pour tout réel x supérieur ou égal à 2 :
.1/2x² <ou= 1/x²+3 < ou = 1/x².
2)Déduisez en un encadrement de [2 ;3] f(x) dx.

Pour le 1, est ce que je peux le prouver en remplaçant le x par 2 ?

Et pour le 2 pouvez vous me donner un coup de main pour le début svp ?

Bonjour ,

Si tu remplaces x par 2 , tu constates que les inégalités sont vraies pour x=2, mais tu ne prouves rien pour x>2.
Il faut faire une démonstration générale

par exemple je te propose de calculer la différence : \(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{x^2+3^}\)

en réduisant au même dénominateur, puis en étudiant le signe de cette différence pour x>=2.

Il y a d'autres méthodes mais celle là est assez générale : Pour comparer 2 nombres on étudie le signe de leur différence.

sosmaths

la différence est 1/x²+3?

pas du tout, donne moi les détails du calcul. N'oublie pas de réduire au même dénominateur.

sosmaths

=x²+3-2x²/x²(x²+3)
=-x²+3/2x^3+6
?

Il manque un 2 au dénominateur, puis il ne faut pas développer le dénominateur .

kenza a écrit :x²+3-2x²/x²(x²+3)

On obtient donc : \(\frac{3-x^2^}{(2x^2)(x^2+3)}\)

tu sais que x >2, que peux tu en déduire pour le signe du numérateur ?

et le signe du dénominateur, que peux tu en dire ?

Et donc quel est le signe de la fraction ?

sosmaths

Je suppose que le dénominateur et el nominateur sont positif, et que parconséquent la fraction est positive?

oui, ta supposition est juste mais il faut rédiger une démonstration.

sosmaths

ah d'accord, et je peux donc prouver cette démonstration en remplacant le x par un nombre supérieur ou égale a 2?

Je renvoie le message, il y a un caractère qui n'est pas passé :
si \(x>2\), alors \(3-x^2<0\).
pour le prouver tu peux partir de x>2 donc en élevant au carré qui est une fonction croissante, on a
\(x^2>2^2\) donc \(x^2>4\) donc
\({-}x^2<-4\) donc
\(3-x^2<-1\) donc ton numérateur est négatif.
Comme le dénominateur est négatif, ta fraction est négative.

ah d'accord merci pour votre aide!
et pour la question 2, il faut que je remplace le x par 2 puis par 3, c'est ça?

Je ne comprends pas la deuxième question : c'est une intégrale ? Si c'est le cas tu utilises la croissance (ou positivité) de l'intégrale :
si tu as prouvé que :
\(\frac{1}{2x^2}\leq f(x)\leq\frac{1}{x^2}\) sur l'intervalle [2;3] alors par passage à l'intégrale entre ces deux bornes :
\(\int_{2}^{3}\frac{1}{2x^2}dx\leq \int_{2}^{3}f(x)dx\leq\int_{2}^{3}\frac{1}{x^2}dx\)
Il te reste à calculer les deux intégrales de chaque côté : il suffit de trouver les primitives.

Donc l'encadrement est -1/2x <ou= f(x) <= -1/x, c'est ca?

Attention, ce sont des intégrales à calculer donc à la fin, tu doit avoir deux nombres qui encadrent l'intégrale de f sur [2;3].
Par exemple : \(\int_{2}^{3}\frac{1}{2x^2}dx=[-\frac{1}{2x}]_{2}^{3}=\frac{-1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{-2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{12}\)
Dis-moi, tu comprends ce que je fais ? je suis dans le vrai ? c'est bien une histoire d'intégrales dans ton énoncé d'exercice ?

oui c'est une histoire d'intégrale.
Et j'ai fais pareil pour le 1/xdx = -1/3 +1/2 =-3/6 +3/6 =0
Donc l'encadrement est 0<ou= f(x) <ou= 1/12
c'est ca?