SOS-MATH

Bonjour !

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= (3e^(x/4))/(2+e^(x/4))
a) Démontrer que f(x)= 3/(1+2e^(x/4))
b) Etudier les limites de la fonction f en +infini et -infini
c)Etudier les variations de la fonction f.

Pouvez surtout m'aidez pour la premier question car je n'ai pas vraiment compris le sens de cette question
Merci d'avance.

Bonjour Lila,

Je pense que ton expression " f(x)= 3/(1+2e^(x/4))" est fausse !
Elle doit être f(x)= 3/(1+2e^(-x/4)) ?

SoSMath.

Ah oui désolé je n'ai pas fait attention. Pouvez vous m'aidez pour cette question ?

Bonjour,

Je te propose de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction qui définit f(x) par le nombre e^(-x/4).

sosmaths

Oui ca marche merci beaucoup. Pour la question 2 je ne trouve la limite de 2e^(-x/4) en + et - l'infini. Pouvez vous m'aidez ?

Lorsque x tend vers + infini, X=-x/4 tend vers - infini.

Or la limite de e^(X) lorsque X tend vers - infini est 0

Donc la limite de e^(-x/4) lorsque x tend vers + infini est 0. ( théorème de composition de limite)


Même méthode pour la limite lorsque x tend vers - infini.

sosmaths

D'accord alors pour - l'infini j'hésite si la limite de (-x/4) donc X en - l'infini est + ou - l'infini à cause du -x ?
J'ai calculé la dérivée pour la question 3 et j'ai trouvé (5/4)e^(-x/4)+1 et comme je ne suis pas très sur de moi je voulais savoir si c'était bon
voilà merci d'avance

J'ai l'impression que ta dérivée est fausse.

sosmaths

SoS-Math(4) a écrit :J'ai l'impression que ta dérivée est fausse.

sosmaths

Comment dériver 2e^(-x/4) ? Je précis que je me serre de la fonction f(x) démontrer dans la question 1 pas celle écrite dans l'énoncé

Bonjour,

La dérivée de exp( u(x)) est u'(x)exp(u(x)) donc la dérivée de exp(-x/4) est -1/4 exp(-x/4)

D'autre part ton expression s'écrit sous forme d'un quotient avec pour numérateur 3. Tu sais que la dérivée de 1/v(x) est - v'(x)/v²(x)

Donc tu dois utiliser correctement ces formules.

bon courage.

sosmaths

Après de nombreux calculs, j'ai trouvé 3/(8e^(-x/2)+2) comme dérivée est ce que c'est bon ?

Si j'avais le détail des calculs je pourrais trouver les erreurs, car je ne trouve pas la même chose.

sosmath

Donc j'utilise la formule -v'(x)/v^2(x) *=multiplier
=(-(2*-(1/4)e^(-x/4))*3/(2e^(-x/4)+1)^2
=((1/2)e^(-x/4))*3/((2e^(-x/4))^2+2*2e^(-x/4)*1+1)
=((3/2)e^(-x/4))/(4e^(-x/2)+4e^(-x/4)+1)
=(3/2)/(4e^(-x/2)+5)
=(3/2)*(1/4e(-x/2)+5)
=3/8e(-x/2)+10

Je me suis juste trompé à la fin ce n'est 8e^(-x/2)+2 mais 8e^(-x/2)+10. J'espère que ce sera assez compréhensible. Dans la deuxième ligne au dénominateur j'ai utilisé une identité remarquable.

Bonjour,

Reprenons les calculs :

=(-(2*-(1/4)e^(-x/4))*3/(2e^(-x/4)+1)^2 Ok
=((1/2)e^(-x/4))*3/((2e^(-x/4))^2+2*2e^(-x/4)*1+1) Pourquoi développer le dénominateur ? Ici, il faut déterminer le signe de la dérivée : tu n'as donc aucun intérêt à modifier un dénominateur dont tu connais le signe ! La simplification du numérateur est suffisante et cela évitera les erreurs de calcul dans la suite !
\(=\frac{\frac{3}{2}e^{\frac{-x}{4}}}{{(2e^{\frac{-x}{4}}+1)}^2\)

Bonne continuation.

Oh d'accord je comprend. Donc du coup le signe de la dérivée sera positif puisque e^x est toujours positif donc le numérateur est positif et le dénominateur aussi donc f(x) est croissante sur R c'est ça ?