arithmétique

Invité · Message par **Invité** » mer. 19 sept. 2007 16:05

salut ,

La suite (Un) est définie par U0=1, U1=8 et pour tout n de N , n supérieur ou égal à 2 , Un = 4( U(n-1) - U(n-2) )

Il faut montrer que la suite (Vn) définie par Un = 2^n * Vn , verifie, pour tout n supérieur ou égal à 2 , la relation :

Vn - V(n-1) = V(n-1) - V(n-2)

Voila je bloque sur cette question , si vous auriez des idées , merci d'avance!!

SoS-Math(2) · Message par **SoS-Math(2)** » mer. 19 sept. 2007 18:33

Bonjour,

vous savez que
\(U_n=2^n \times V_n\)
donc
\(U_{n-1}=2^{n-1} \times V_{n-1}\)
et
\(U_{n-2}=2^{n-2} \times V_{n-2}\)

Remplacer dans la première égalité, puis simplifiez par 2^n. N'oubliez pas que 4=2²

Bon courage

Invité · Message par **Invité** » jeu. 20 sept. 2007 20:31

bonjour !

j'ai esseyé de faire de cette façon mais en développant je ne trouve pas le bon résulat, donc peut-être que c'est moi qui me suis trompé dans le calcul . Si vous avez quelques solutions je vous remercie !

SoS-Math(2) · Message par **SoS-Math(2)** » jeu. 20 sept. 2007 20:43

Bonsoir,
quand vous remplacez dans la première égalité vous obtenez
\(2^n \times V_{n} = 2^{n+1}\times V_{n-1} - 2^{n}\times V_{n-2}\)
Vous n'avez plus qu'à tout diviser par 2^n
Bon courage

Invité · Message par **Invité** » jeu. 20 sept. 2007 20:58

bonsoir,

Désolé mais petit probleme encore :s Une fois que l'on a simplifié par 2^n on ne retrouve pas l'égalité Vn - V(n-1) = V(n-1) - v(n-2) , non?
je vous remercie en tout cas de m'aider sur ce calcul !

SoS-Math(2) · Message par **SoS-Math(2)** » ven. 21 sept. 2007 14:07

Vous arrivez à
\(V_{n} = 2 \times V_{n-1} - V_{n-2}\)
Exprimez V(n) dans la première expression et comparez..

Invité · Message par **Invité** » ven. 21 sept. 2007 20:52

Bonsoir,

finalement en remplaçant je trouve:

2^n * Vn = 2² ( 2^(n-1) * Vn-1 - 2^(n-2) * Vn-2 )

2^n * Vn = 2² ( 2^n * 2 * Vn-1 - 2^n * 2 * Vn-2 )

Vn = 2 * Vn-1 - Vn-2

Donc pour tout n de N , Vn - Vn-1 = Vn-1 - Vn-2

Selon vous est-ce que je me suis trompée dans le développement? Merci d'avance ! bonne soirée

SoS-Math(2) · Message par **SoS-Math(2)** » sam. 22 sept. 2007 10:03

Bonjour,
La deuxième ligne est fausse
\(2² \times 2^{n-1} = 2^{n-1+2}=2^{n+1}\)
et
\(2² \times 2^{n-2} = 2^{n-2+2}=2^{n}\)
A vous de terminer

Invité · Message par **Invité** » sam. 22 sept. 2007 11:35

Merci beaucoup pour votre aide , j'ai enfin trouvé le bon resultat ! encore merci

Invité · Message par **Invité** » lun. 24 sept. 2007 18:09

Bonsoir,

c'est toujours le même énoncé mais il faut montrer que la somme Up (qui va de p = 1 à n+1) = 4Un + 4

J'ai donc pensé qu'il faut faire un raisonnement par récurrence , ce qui me donne pour la propagation :

On suppose que la somme Up (avec p= 1 et va jusqu'à n+1)= 4Un +4
Demontrons que la somme Up (avec p=1 et va jusqu'à n+2)=4U(n+1) +4

Donc somme Up ( p=1 jusqu'à n+2) = Up(p=1 et va jusqu'à n+1)+U(n+1)
= 4 Un +4 + U(n+1)
= 16(Un-1 - Un-2) + 4 + Un+1
= 16 Un-1 - 16Un-2 + 4 + Un+1
Et à partir de la je n'arrive pas , je ne sais pas comment trouver Up( p=1 t va jusqu'à n+2)=4Un+1 + 4

Si vous pouviez m'aider, me donner une piste ! je vous remercie

Invité · Message par **Invité** » lun. 24 sept. 2007 20:52

excusez moi , j'ai oublié de préciser qu'au résultat precedent on trouve
Un= 2^n ( 1 + 3n)

SoS-Math(5) · Message par **SoS-Math(5)** » mar. 16 oct. 2007 09:51

Bonjour
Pour calculer la somme \(\sum_{p=1}^{n+1}U_p\) il faut utiliser la propriété \((1)\) :
\((1)~~~~~~~~~~~~~~U_p=4(U_{p-1}-U_{p-2}})\) si \(p \geq 2\)
Donc il faut écrire :
\(\sum_{p=1}^{n+1}U_p =U_1+\sum_{p=2}^{n+1}U_p\)
puis utiliser la propriété \((1)\).
La simplification se fera alors de manière naturelle.

Bon courage.