SOS-MATH

Bonjour,
Je suis toujours sur mon dm et je bloque vers une des dernières questions.

On se propose d'étudier l'évolution d'une polpulation de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique f définie par f(x)=kx(1-x), k étant le paramètre qui dépend de l'environnement (k appartient a R). Dans le modèle choisi, on admet que le nombre de coccinelles reste inférieur à un million. L'effectif des coccinelles exprimé en millions d'individus est approché pour l'année n par un nombre réel Un avec Un compris entre o et 3. Par exemple si pour l'année zéro il y a 300 000 coccinelles on prendra Uo = 0,3
On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation Un+1 = f(Un), f étant la fonction définie ci dessus.
Grace aux précédentes questions je sais que si Un convege alors sa limite l vérifie la relation f(l)=l

De plus, si Uo = 0,4 et k=1 :
La suite Un est décroissante
0<Un<1
Elle converge vers 0

et si Uo=0,3 et k =1,8
f(x) est croissante sur [o; 1/2] et descroissante sur [1/2; 1]
f(1/2) appartient à l'intervalle [0;1/2]

Il faut que je montre que si Uo = 0,3 et k =1,8 alors pour tout entier naturel n, 0<Un<1/2
J'ai donc choisi de faire un résonnement par récurrence..
Sois Pn la propriété telle que 0<Un<1/2
Montrons que po est vraie
Uo=0,3 donc 0<Uo<1/2 donc Po est vraie.
Considérons un entier naturel k tel que Pk est vraie c'est à dire tel que 0<Uk<1/2
Montrons que Pk+1 est vraie c'est à dire tel que 0<Uk+1<1/2
Uk+1= 1,8Uk(1-Uk)
On a : 0<Uk<1/2
0>-Uk>-1/2
1>1-Uk>1-1/2

Mais je n'arrive pas à poursuivre.. Pouvez vous m'aidez ?

Merci d'avance pour votre aide

Susie

bonjour,

Vous avez bien commencé.
il faut maintenant multiplier votre encadrement par Uk.
On obtient alors : Uk > Uk(1-Uk)>0.5Uk>0
Donc 0.5>Uk(1-Uk)>0
Ensuite vous multipliez l'encadrement par k, et vous obtenez \(U_{k+1}\) au centre et vous pouvez conclure rapidemment.

Ceci dit, une autre méthode, plus rapide et élégante, consiste à utiliser la décroissance de f sur [0;1/2]. Vous prenez l'hypothèse de récurrence 0<Uk<1/2 et vous prenez l'image de cet encadrement par f. Je vous laisse réfléchir et terminer.

bon courage
sosmaths

Bonjour,

Je voudrais essayer de faire avec votre méthode, mais d n'est pas décroissante sur [0:1/2] en effet elle est croissante sur cet intervalle et décroissante sur [1/2,1]
Et puis je ne vois pas du tout comment il faut faire

Merci de votre aide

excusez moi, j'ai écris décroissante au lieu de croissante.

Rappel : si f est croissante et si a<b<c alors f(a)<f(b)<f(c)

allez y.

sosmaths

Bonjour,

Mais on a pas le droit de se servir de la croissance de la fonction pour démonter la croissance de la suite..
Je ne comprend vraiment pas..

Merci de votre aide

Susie

bonsoir
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et tel que, pour tout x appartenant à I, f (x) appartient à I

Avec une suite U du type Up+1 = f( Up):

si f est croissante et que Up< U p+1

alors f(Up) < f (Up+1)

d'où U p+1 < U p+2.

Bon courage