La récurrence

[Invité]

Bonjour,
Je suis toujours sur mon dm et je bloque vers une des dernières questions.

On se propose d'étudier l'évolution d'une polpulation de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique f définie par f(x)=kx(1-x), k étant le paramètre qui dépend de l'environnement (k appartient a R). Dans le modèle choisi, on admet que le nombre de coccinelles reste inférieur à un million. L'effectif des coccinelles exprimé en millions d'individus est approché pour l'année n par un nombre réel Un avec Un compris entre o et 3. Par exemple si pour l'année zéro il y a 300 000 coccinelles on prendra Uo = 0,3
On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation Un+1 = f(Un), f étant la fonction définie ci dessus.
Grace aux précédentes questions je sais que si Un convege alors sa limite l vérifie la relation f(l)=l

De plus, si Uo = 0,4 et k=1 :
La suite Un est décroissante
0<Un<1
Elle converge vers 0

et si Uo=0,3 et k =1,8
f(x) est croissante sur [o; 1/2] et descroissante sur [1/2; 1]
f(1/2) appartient à l'intervalle [0;1/2]

Il faut que je montre que si Uo = 0,3 et k =1,8 alors pour tout entier naturel n, 0<Un<1/2
J'ai donc choisi de faire un résonnement par récurrence..
Sois Pn la propriété telle que 0<Un<1/2
Montrons que po est vraie
Uo=0,3 donc 0<Uo<1/2 donc Po est vraie.
Considérons un entier naturel k tel que Pk est vraie c'est à dire tel que 0<Uk<1/2
Montrons que Pk+1 est vraie c'est à dire tel que 0<Uk+1<1/2
Uk+1= 1,8Uk(1-Uk)
On a : 0<Uk<1/2
0>-Uk>-1/2
1>1-Uk>1-1/2

Mais je n'arrive pas à poursuivre.. Pouvez vous m'aidez ?

Merci d'avance pour votre aide

Susie

[SoS-Math(4)]

bonjour,

Vous avez bien commencé.
il faut maintenant multiplier votre encadrement par Uk.
On obtient alors : Uk > Uk(1-Uk)>0.5Uk>0
Donc 0.5>Uk(1-Uk)>0
Ensuite vous multipliez l'encadrement par k, et vous obtenez \(U_{k+1}\) au centre et vous pouvez conclure rapidemment.

Ceci dit, une autre méthode, plus rapide et élégante, consiste à utiliser la décroissance de f sur [0;1/2]. Vous prenez l'hypothèse de récurrence 0<Uk<1/2 et vous prenez l'image de cet encadrement par f. Je vous laisse réfléchir et terminer.

bon courage
sosmaths

[Invité]

Bonjour,

Je voudrais essayer de faire avec votre méthode, mais d n'est pas décroissante sur [0:1/2] en effet elle est croissante sur cet intervalle et décroissante sur [1/2,1]
Et puis je ne vois pas du tout comment il faut faire

Merci de votre aide

[SoS-Math(4)]

excusez moi, j'ai écris décroissante au lieu de croissante.

Rappel : si f est croissante et si a<b<c alors f(a)<f(b)<f(c)

allez y.

sosmaths

[Invité]

Bonjour,

Mais on a pas le droit de se servir de la croissance de la fonction pour démonter la croissance de la suite..
Je ne comprend vraiment pas..

Merci de votre aide

Susie

[SoS-Math(10)]

bonsoir
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et tel que, pour tout x appartenant à I, f (x) appartient à I

Avec une suite U du type Up+1 = f( Up):

si f est croissante et que Up< U p+1

alors f(Up) < f (Up+1)

d'où U p+1 < U p+2.

Bon courage