Aide pour un exercice personnel

[Invité]

Bonjour.

J'ai trouvé dans un livre d'annales le sujet suivant qui me semble complet pour réviser une interrogation. Seulement les annales en question ne sont pas corrigées. J'aimerai donc avoir votre aide car je n'arrive pas à parvenir à la fin.

Le sujet est:

On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction f dérivable sur R vérifiant la condition:

(C) [f(-x)*f'(x)=1 et f(0)=-4] pourtt nbr réel x

(f' désigne la fonction dérivée de la fonction f) et de trouver cette fonction.

1 On suppose qu'il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur R par g(x)=f(-x)f(x).

a) Démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur R.
b) Calculer la fonction dérivée de la fonction g
c) En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.
d) ON considère l'équation différentielle (E) y'= 1/16*y. Montrer que la fonction f est solution de cette équation et qu'elle vérifie f(0)=-4

Je suis parvenue à faire la question 1 mais je ne suis pas sure:

Pouvez vous m'aider j'aimerai vraiment trouver la solution.
J'ai posé f(x)= g(x)/f(-x) et f(-x)=1/f'(x)

d'ou g(x)= (1/f'(x)) * f(x)

g(x)=(1/f'(x)) * (f(-x)*f(x)surf(-x))

d'ou en mettant au même dénominateur g(x)= (f(-x)*f(x)/(f'(x)*f(-x))

Est ce correct? Merci de votre aide.

Anne-Marie

[SoS-Math(5)]

Bonjour Anne-Marie
Vous avez écrit que :
\(g(x)=\frac{f(-x)f(x)}{f'(x)f(-x)}\)
C'est vrai mais je crains que cela ne vous serve pas beaucoup.
En revanche, pour faire la question 1a, il faut utiliser la condition C et on peut conclure.
Pour la question 1b il faut appliquer la formule de la dérivée d'un produit de fonctions :
si \(f = u\times v\) alors \(f' = u'\times v +u\times v'\)
En effet puisque \(g\) est un produit de fonctions, on en déduit \(g'\) :
\(g(x)=f(-x)\times f(x)\) donc \(g'(x) = ...\)
Bon courage.

[Invité]

Je ne vois pas comment faire
Il faudrait montrer que f est paire (d'ou une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) puis dire que f(0)=4 est son maximum. Ainsi elle ne s'annule pas.

Pour la dérivée g'(x) j'obtient -f(-x)*f(x) + f(-x)*f(x)
Or la dérivée doit etre nulle.
Il faudrait montrer que -f(-x)*f(x) est égal à -1....

[SoS-Math(5)]

Bonjour
Pour la question 1a c'est beaucoup plus simple que ce que vous pensez ; il faut utiliser la propriété suivante :
Si le produit de deux nombres est non nul alors les deux nombres sont ...
Or la condition C dit que : \(f(-x)\times f'(x)=1\) donc ...
Bon courage.

[Invité]

Merci beaucoup de m'avoir aidé.

J'ai de nouveau besoin d'aide pour un exercice de cours cette fois ci.

Mon professeur me demande d'étudier la fonction suivante f(x)= exp(-x) * (x²-2x-m) avec mp réel donné.

J'ai réussi a trouver les limites et je trouve cela comme dérivée:

f'(x)= exp(-x) * (-x²+4x-2+m)

Cependant je suis maintenant bloquée. Comment trouver les/la valeur(s) qui annule(nt) pour faire mon tableau?

Merci d'avance.

Anne-Marie

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
vos réponses sont correctes. Vous devez étudier le signe de -x²+4x-2+m
Vous devez calculer le discriminant que nous appelerons D
D va dépendre de m et vous devrez étudier 2 cas :
Soit D>0 alors deux racines et le signe de f'(x) varie : d'abord négatif, puis positif et ensuite négatif
Soit D<=O alors f'(x) est du signe du coefficient de x²
Donc deux tableaux de variations.
Bon courage

[Invité]

Super merci beaucoup. En suite il faut remplacer m par des valeurs données. Je ne pense pas que ca me pause problème. Merci en tout cas! Ces conseils m'ont beaucoup aidé!!!! Bravo pour ce site génial!

Bonne soirée. Anne-Marie

[SoS-Math(5)]

Bonne soirée Anne-Marie, et à bientôt.