Bonjour
Je suis en terminale S et je n'arrive pas à commencer cet exercice.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O,u,v). Soient A(1) et B(-1). On considère l'application f qui, à tout point M du plan distinct de O associe le point M' d'affixe z'=-(1/\(\overline{z}\)).
1) Soit E(e^(i(\(\pi\)/3)). Déterminer l'affixe de E'=f(E) sous forme exponentielle et algébrique.
2) Déterminer l'image par f du cercle de centre O et de rayon 1.
3) Soit K(2e^(i(\(\5pi\)/6)) et K' son image par f. Calculer l'affixe de K'.
4) Déterminer l'image par f du cercle de centre O et de rayon 2.
5) Montrer que z'+1=\(\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}}\) et que, si M est un point du cercle de centre A et de rayon 1, |z'+1|=|z'|
6) Soit R(1+e^(i*teta)) où teta\(\in\)]-\(\pi\),\(\pi\)[. Déterminer l'ensemble des points R et montrer que les images des points R sont situés sur une droite.
Pouvez-vous me donner des pistes pour faire cet exercice.
Merci
Fanny
nombres complexes
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Invité
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SoS-Math(4)
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Invité
Bonjour
Voici ce que j'ai trouvé
1) Soit l'application f qui, à tout point M du plan distinct de O associe le point M' d'affixe z'=-\(\frac{1}{\overline{z}}\) , E(\(e^{i\frac{\pi}{3}}\)) et E'=f(E)
z'(E)=-\(\frac{1}{e^{i\frac{\pi}{3}}\)=-\(\frac{e^{i\pi}}{e^{-i\frac{\pi}{3}}\)=\(e^{i\frac{4\pi}{3}}\)= cos\(\frac{4\pi}{3}\)+i sin \(\frac{4\pi}{3}\)=-1+0i
z'(E)=-1
L'affixe de E'=f(E) est z'(E)=\(e^{i\frac{4\pi}{3}}\) (forme exponentielle) qui peut aussi se noter z'(E)=-1 (forme algébrique)
2) Soit C un cercle de centre O et de rayon 1. Ce cercle passe par les points A(1) et B(-1). z'(E)=C et z(E)\(\in\)C'
z(E)=\(e^{i\frac{\pi}{3}}\)=cos \(\frac{\pi}{3}\)+i sin\(\frac{\pi}{3}}\)=\(\frac{1}{2}\)+i\(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Cela correspond aux coordonnées d'un des points du cercle. Mais je ne vois pas comment trouver le centre
Merci beaucoup pour votre aide
A bientôt
Voici ce que j'ai trouvé
1) Soit l'application f qui, à tout point M du plan distinct de O associe le point M' d'affixe z'=-\(\frac{1}{\overline{z}}\) , E(\(e^{i\frac{\pi}{3}}\)) et E'=f(E)
z'(E)=-\(\frac{1}{e^{i\frac{\pi}{3}}\)=-\(\frac{e^{i\pi}}{e^{-i\frac{\pi}{3}}\)=\(e^{i\frac{4\pi}{3}}\)= cos\(\frac{4\pi}{3}\)+i sin \(\frac{4\pi}{3}\)=-1+0i
z'(E)=-1
L'affixe de E'=f(E) est z'(E)=\(e^{i\frac{4\pi}{3}}\) (forme exponentielle) qui peut aussi se noter z'(E)=-1 (forme algébrique)
2) Soit C un cercle de centre O et de rayon 1. Ce cercle passe par les points A(1) et B(-1). z'(E)=C et z(E)\(\in\)C'
z(E)=\(e^{i\frac{\pi}{3}}\)=cos \(\frac{\pi}{3}\)+i sin\(\frac{\pi}{3}}\)=\(\frac{1}{2}\)+i\(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Cela correspond aux coordonnées d'un des points du cercle. Mais je ne vois pas comment trouver le centre
Merci beaucoup pour votre aide
A bientôt
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SoS-Math(4)
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Invité
1)Je sais que cos4\(\pi\)/3=-1/2 mais je n'arrive pas à le démontrer. Et je n'arrive toujours pas à trouver le sin
2)J'ai trouvé M appartient à C cercle de centre O et de rayon 1
|z|=1
|z'|=|-1|/|\(\overline{z}\)|
Je n'arrive pas à terminer.
Je sais que ce sont des choses simples mais je ne sais pas pourquoi je n'arrive pas à trouver les bons résultats.
Merci beaucoup pour votre aide
Fanny
2)J'ai trouvé M appartient à C cercle de centre O et de rayon 1
|z|=1
|z'|=|-1|/|\(\overline{z}\)|
Je n'arrive pas à terminer.
Je sais que ce sont des choses simples mais je ne sais pas pourquoi je n'arrive pas à trouver les bons résultats.
Merci beaucoup pour votre aide
Fanny
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SoS-Math(4)
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bonsoir,
Les valeurs des cosinus et sinus des angles remarquables se "lisent" sur le cercle trigonométrique qu'il faut apprendre à utiliser. cos(4pi/3) = cos(pi +pi/3) = -cos(pi/3)=-1/2
de même sin(4pî/3)= sin(pi+pi/3)= -sin(pi/3)=-rac(3)/2
2) Continuer votre calcul en tenant compte que module(-1)=1 et module (z barre) =module (z).
bon courage
sosmaths
Les valeurs des cosinus et sinus des angles remarquables se "lisent" sur le cercle trigonométrique qu'il faut apprendre à utiliser. cos(4pi/3) = cos(pi +pi/3) = -cos(pi/3)=-1/2
de même sin(4pî/3)= sin(pi+pi/3)= -sin(pi/3)=-rac(3)/2
2) Continuer votre calcul en tenant compte que module(-1)=1 et module (z barre) =module (z).
bon courage
sosmaths
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Invité
Bonsoir
Merci beaucoup pour votre aide, j'ai ainsi pu avancer dans l'exercice.
Voici mes résultats
2) |z|=1
|z'|=1 ce qui montre que C et C' ont le même rayon
z'(O)=0 donc C et C' ont le même centre
L'image par f du cercle de centre O et de rayon 1 et le cercle C' qui a les mêmes caractéristiques. Les cercles C et C' sont donc confondus
3) z'(K)=-1/(\(\overline{2e^{i(5\pi)/6}}\)=e^(i pi)/(2e^(-i(5pi/6))=(1/2)e^(i(11pi/6))
4) z'(O)=0
M appartient à C(O) de rayon 2
|z|=2
|z'|=1/2
L'image par f du cercle de centre O et de rayon 2 est le cercle de centre O et de rayon 1/2
Ces résultats sont-ils corrects?
Je vais essayer de chercher les deux dernières questions
A bientôt
Merci beaucoup pour votre aide, j'ai ainsi pu avancer dans l'exercice.
Voici mes résultats
2) |z|=1
|z'|=1 ce qui montre que C et C' ont le même rayon
z'(O)=0 donc C et C' ont le même centre
L'image par f du cercle de centre O et de rayon 1 et le cercle C' qui a les mêmes caractéristiques. Les cercles C et C' sont donc confondus
3) z'(K)=-1/(\(\overline{2e^{i(5\pi)/6}}\)=e^(i pi)/(2e^(-i(5pi/6))=(1/2)e^(i(11pi/6))
4) z'(O)=0
M appartient à C(O) de rayon 2
|z|=2
|z'|=1/2
L'image par f du cercle de centre O et de rayon 2 est le cercle de centre O et de rayon 1/2
Ces résultats sont-ils corrects?
Je vais essayer de chercher les deux dernières questions
A bientôt
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SoS-Math(4)
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Bonsoir,
2) module (z')=1 équivaut à OM'=1 équivaut à M'appartient au cercle de centre O de rayon 1.
vous avez écrit : z'(O)=0 ça ne signifie rien, car z'est un nombre , pas une fonction.
3) Dans l'énoncé on voit pi/6 pour définir K et vous calculez avec 5pi/6, je ne comprends pas.
4) juste, supprimez z'(O)=0.
vous pouvez continuez , mais faites attention à la rédaction.
sosmaths
2) module (z')=1 équivaut à OM'=1 équivaut à M'appartient au cercle de centre O de rayon 1.
vous avez écrit : z'(O)=0 ça ne signifie rien, car z'est un nombre , pas une fonction.
3) Dans l'énoncé on voit pi/6 pour définir K et vous calculez avec 5pi/6, je ne comprends pas.
4) juste, supprimez z'(O)=0.
vous pouvez continuez , mais faites attention à la rédaction.
sosmaths
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Invité
Bonjour
3)En fait je me suis trompée en recopiant l'énoncé. C'est bien 5pi/6 et non pi/6 qu'il faut utiliser. Les résultats indiqués dans mon précédent message sont-ils corrects avec 5pi/6?
5)J'ai trouvé que z'+1=-(1/\(\overline{z}\))+1=(-1+\(\overline{z}\))/\(\overline{z}\)=(\(\overline{z}\)-1)/\(\overline{z}\)
Je pense que |z'+1|=AM' et |z'|=AM mais je ne vois pas comment finir cette question
6)R(1+e^(i teta)) cercle de centre A(1) et de rayon 1
|z'|=|z'+1|
|z'(R)|=|z'(R)+1|
R' est sur la droite (AR')
|z'(R)|=\(\frac{1}{|1+e^{i \theta}|}\)=\(\frac{1}{\sqrt{1+e^{i \theta}}\sqrt{1+e^{i \theta}}\)
Je ne vois pas comment finir cette question
Pouvez-vous me dire si les résultats et la rédactions sont corrects?
Merci
Fanny
3)En fait je me suis trompée en recopiant l'énoncé. C'est bien 5pi/6 et non pi/6 qu'il faut utiliser. Les résultats indiqués dans mon précédent message sont-ils corrects avec 5pi/6?
5)J'ai trouvé que z'+1=-(1/\(\overline{z}\))+1=(-1+\(\overline{z}\))/\(\overline{z}\)=(\(\overline{z}\)-1)/\(\overline{z}\)
Je pense que |z'+1|=AM' et |z'|=AM mais je ne vois pas comment finir cette question
6)R(1+e^(i teta)) cercle de centre A(1) et de rayon 1
|z'|=|z'+1|
|z'(R)|=|z'(R)+1|
R' est sur la droite (AR')
|z'(R)|=\(\frac{1}{|1+e^{i \theta}|}\)=\(\frac{1}{\sqrt{1+e^{i \theta}}\sqrt{1+e^{i \theta}}\)
Je ne vois pas comment finir cette question
Pouvez-vous me dire si les résultats et la rédactions sont corrects?
Merci
Fanny
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SoS-Math(2)
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Invité
Bonsoir
Pour la question 5) je n'arrive pas à montrer que |z'|=1/|\(\overline{z}\)|
Pour la question 6) en fait j'ai trouvé l'ensemble des points R mais je ne sais pas comment le justifier.
Pour la fin de la question j'ai mis OR'=BR' donc les images des points R sont situés sur la médiatrice de [OB]
Encore merci pour votre aide
A bientôt
Pour la question 5) je n'arrive pas à montrer que |z'|=1/|\(\overline{z}\)|
Pour la question 6) en fait j'ai trouvé l'ensemble des points R mais je ne sais pas comment le justifier.
Pour la fin de la question j'ai mis OR'=BR' donc les images des points R sont situés sur la médiatrice de [OB]
Encore merci pour votre aide
A bientôt
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SoS-Math(2)
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Invité
Bonjour
Voici comment j'ai rédigé la question 5). Est-ce correct?
Si M est un point du cercle de centre A et de rayon 1, son équation est \(1+e^{i\theta}\)
On a alors |z'+1|=|\(\overline{1+e^{i\theta}}\)-1|/|\(\overline{1+e^{i\theta}}\)|
=|1+e\(^{-i\theta}\)-1|/|\(\overline{z}\)|
=|e\(^{-i\theta}\)|/|\(\overline{z}\)|
=|-1|/|\(\overline{z}\)|
=|z'|
La question 6) est-elle juste?
Les rédactions sont-elles justes?
Merci
A bientôt
Fanny
Voici comment j'ai rédigé la question 5). Est-ce correct?
Si M est un point du cercle de centre A et de rayon 1, son équation est \(1+e^{i\theta}\)
On a alors |z'+1|=|\(\overline{1+e^{i\theta}}\)-1|/|\(\overline{1+e^{i\theta}}\)|
=|1+e\(^{-i\theta}\)-1|/|\(\overline{z}\)|
=|e\(^{-i\theta}\)|/|\(\overline{z}\)|
=|-1|/|\(\overline{z}\)|
=|z'|
La question 6) est-elle juste?
Les rédactions sont-elles justes?
Merci
A bientôt
Fanny