Bonjour
Je bloque un peu sur un exercice. En voici l'énoncé.
1) En étudiant les variations de deux fonctions, montrer que pour tout x\(\geq\)0, x-\(\frac{x²}{2}\)\(\leq\)ln(1+x)\(\leq\)x
2)On considère la suite (\(u_{n}\)) avec n\(\geq\)1, définie par \(u_{1}\)=3/2 et \(u_{n+1}=u_{n}\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right)\)
a) Montrer que, pour tout n\(\geq\)1, \(u_{n}\)>0
b) Montrer que pour tout n\(\geq\)1, ln\(u_{n}\)=somme à partir de k=1 jusqu'à n*ln(1+\(\frac{1}{2^k}\))
c) On pose Sn=somme à partir de k=1 jusqu'à n*\(\frac{1}{2^k}\) et Tn=somme à partir de k=1 jusqu'à n*\(\frac{1}{4^k}\). Montrer que, pour tout n\(\geq}\)1, Sn-(1/2)Tn\(\leq \ln u_n\leq\)Sn
d) Calculer Sn et Tn et en déduire leurs limites
3)a) Montrer que la suite (un) avec n\(\geq\)1 est strictement croissante
b) En déduire que (un) avec n\(\geq\)1 est convergente et que sa limite l vérifie (5/6)\(\leq\)ln l\(\leq\)1
Je pense que pour la question 1, il faut étudier les variations de f(x)=x-(x²/2) et g(x)=ln(1+x)=ln x. Pour la question 2a je pense qu'il faut se servir de la récurrence.
Merci beaucoup pour votre aide
Antoine
TS+études de suites
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SoS-Math(4)
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Bonjour,
pour la question 1, étudiez la fonction u définie pour x>0 par u(x)=x-x²/2 -ln(1+x)
puis la fonction v définie pour x>0, par v(x)= x-ln(1+x)
Je pense que vous comprenez comment j'ai formé ces 2 fonctions.
Pour la question 2)a) vous pouvez effectivement utiliser la récurrence, et c'est assez simple.
bon courage
sosmath
pour la question 1, étudiez la fonction u définie pour x>0 par u(x)=x-x²/2 -ln(1+x)
puis la fonction v définie pour x>0, par v(x)= x-ln(1+x)
Je pense que vous comprenez comment j'ai formé ces 2 fonctions.
Pour la question 2)a) vous pouvez effectivement utiliser la récurrence, et c'est assez simple.
bon courage
sosmath
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Bonjour,
La dérivée de v est juste, mais pas celle de u. C'est la dérivée de x²/2 qui est fausse. Il est inutile d'utiliser ici la formule qui permet de calculer la dérivée d'un quotient. en effet x²/2 = 0.5x²
Enfin, pour étudier le signe de ces dérivées il est recommandé de réduire au même dénominateur.
Bon courage
Sosmaths
La dérivée de v est juste, mais pas celle de u. C'est la dérivée de x²/2 qui est fausse. Il est inutile d'utiliser ici la formule qui permet de calculer la dérivée d'un quotient. en effet x²/2 = 0.5x²
Enfin, pour étudier le signe de ces dérivées il est recommandé de réduire au même dénominateur.
Bon courage
Sosmaths
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Invité
J'ai trouvé u'(x)=-x²/(1+x)
J'ai trouvé que v(x) est strictement croissante sur [0;+infini[ . Les limites sont 0 en 0 et +infini en +infini. Pour la limite en 0 j'ai remplacé x par 0 et pour celle en +infini j'ai dit que x tend vers +infini en +infini et ln(1+x) tend vers +infini en +infini. Pour la limite en +infini je crois que ma démonstration est fausse.
Merci beaucoup pour votre aide
J'ai trouvé que v(x) est strictement croissante sur [0;+infini[ . Les limites sont 0 en 0 et +infini en +infini. Pour la limite en 0 j'ai remplacé x par 0 et pour celle en +infini j'ai dit que x tend vers +infini en +infini et ln(1+x) tend vers +infini en +infini. Pour la limite en +infini je crois que ma démonstration est fausse.
Merci beaucoup pour votre aide
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Invité
Bonjour
Aujourd'hui j'ai pas mal avancé dans l'exercie, voici ce que je trouve
1) La fonction u est décroissante et u(0)=0
Soit x>0, comme u est décroissante alors u(x)<u(0) donc u(x)<0 donc ln(1+x)>x-(x²/2)
Grâce à votre aide je trouve aussi ln(1+x)<x
On a donc x-(x²/2)<ln(1+x) et ln(1+x)<x, on peut donc écrire que pour tout x>0, x-(x²/2)<ln(1+x)<x
2)a) Le premier rang est n0=1
u1=3/2
0<(3/2)
On a u1>0
La propriété est vraie au rang 1
On suppose que pour un entier n>1, on a un>0
On sait que u(n+1)=un(1+(1/(2^(n+1)))>0*(1+(1/(2^(n+1)))
D'après l'hypothèse de récurrence un>0
Ce qui est la propriété au rang (n+1)
Donc pour tout n>1 on a un>0
2)b) Le premier rang est n0=1
ln u1=ln(3/2)
somme de k=1 jusqu'à 1 de ln (1+(1/2^1))=ln (1+(1/2))=ln(3/2)
On a ln u1=somme de k=1 jusqu'à n de ln(1+(1/2^k))
La propriété est vraie au rang 1
On suppose que pour un entier n>1 on a ln un=somme de k=1 jusqu'à n de ln(1+(1/2^k))
On sait que ln(un+1)=ln un+ln(1+(1/(2^(n+1)))
D'après l'hypothèse de récurrence
ln u(n+1)=somme de k=1 jusqu'à n de ln(1+(1/2^k))
Ce qui montre que la propriété est vraie au rang (n+1)
Donc pour tout n>1 ln un=somme de k=1 jusqu'à n de ln(1+(1/2^k))
Pouvez-vous me dire si ces résultats et la rédactions sont corrects?
Par contre à partir de la question 2)c) et jusqu'à la fin de l'exercice je bloque à nouveau. Pouvez-vous me donner quelques pistes pour finir cet exercice.
Merci beaucoup pour votre aide
A bientôt
Aujourd'hui j'ai pas mal avancé dans l'exercie, voici ce que je trouve
1) La fonction u est décroissante et u(0)=0
Soit x>0, comme u est décroissante alors u(x)<u(0) donc u(x)<0 donc ln(1+x)>x-(x²/2)
Grâce à votre aide je trouve aussi ln(1+x)<x
On a donc x-(x²/2)<ln(1+x) et ln(1+x)<x, on peut donc écrire que pour tout x>0, x-(x²/2)<ln(1+x)<x
2)a) Le premier rang est n0=1
u1=3/2
0<(3/2)
On a u1>0
La propriété est vraie au rang 1
On suppose que pour un entier n>1, on a un>0
On sait que u(n+1)=un(1+(1/(2^(n+1)))>0*(1+(1/(2^(n+1)))
D'après l'hypothèse de récurrence un>0
Ce qui est la propriété au rang (n+1)
Donc pour tout n>1 on a un>0
2)b) Le premier rang est n0=1
ln u1=ln(3/2)
somme de k=1 jusqu'à 1 de ln (1+(1/2^1))=ln (1+(1/2))=ln(3/2)
On a ln u1=somme de k=1 jusqu'à n de ln(1+(1/2^k))
La propriété est vraie au rang 1
On suppose que pour un entier n>1 on a ln un=somme de k=1 jusqu'à n de ln(1+(1/2^k))
On sait que ln(un+1)=ln un+ln(1+(1/(2^(n+1)))
D'après l'hypothèse de récurrence
ln u(n+1)=somme de k=1 jusqu'à n de ln(1+(1/2^k))
Ce qui montre que la propriété est vraie au rang (n+1)
Donc pour tout n>1 ln un=somme de k=1 jusqu'à n de ln(1+(1/2^k))
Pouvez-vous me dire si ces résultats et la rédactions sont corrects?
Par contre à partir de la question 2)c) et jusqu'à la fin de l'exercice je bloque à nouveau. Pouvez-vous me donner quelques pistes pour finir cet exercice.
Merci beaucoup pour votre aide
A bientôt
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SoS-Math(4)
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bonsoir ,
Les raisonnements par récurrence sont corrects. le premier est améliorable, je vous laisse le relire.
Pour 2c) vous allez utiliser l'inégalité démontrée dans la question 1), en remplaçant x par \(\frac{1}{2^{k}}\)
Puis vous "sommez" tous les termes de l'encadrement de 1 à n.
2)d) La suite Sn est la somme des terme d'une suite géométrique de raison 1/2, donc vous pouvez calculer Sn.
La suite Tn est la somme des termes d'une suite géométrique aussi, donc vous pouvez calculer Tn.
Allez y, bon courage, cet exercice est formateur.
sosmaths
Les raisonnements par récurrence sont corrects. le premier est améliorable, je vous laisse le relire.
Pour 2c) vous allez utiliser l'inégalité démontrée dans la question 1), en remplaçant x par \(\frac{1}{2^{k}}\)
Puis vous "sommez" tous les termes de l'encadrement de 1 à n.
2)d) La suite Sn est la somme des terme d'une suite géométrique de raison 1/2, donc vous pouvez calculer Sn.
La suite Tn est la somme des termes d'une suite géométrique aussi, donc vous pouvez calculer Tn.
Allez y, bon courage, cet exercice est formateur.
sosmaths
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Invité
Bonjour
Pour la question 2)a) je pense qu'il faut détailler davantage entre les lignes
Est-ce suffisant? Je ne vois pas comment détailler plus.
Pour la question 2)c) en remplaçant x par \(\frac{1}{2^k}\) je trouve \(\frac{1}{2}\)+...+\(\frac{1}{2^n}\)-\(\frac{1}{2}\)(\(\frac{1}{4}\)+...+\(\frac{1}{4^n}\))<ln(1+\(\frac{1}{2}\))+...+ln(1+\(\frac{1}{2^n}\))<\(\frac{1}{2}\)+...+\(\frac{1}{2^n}\)
Je pense que l'on peut faire quelque chose avec les membres de droite et de gauche en enlevant Sn mais je sais pas comment m'y prendre.
Merci beaucoup pour votre aide
A bientôt
Antoine
Pour la question 2)a) je pense qu'il faut détailler davantage entre les lignes
Je pensais rajouter que u(n+1)>0D'après l'hypothèse de récurrence un>0
Ce qui est la propriété au rang (n+1)
Est-ce suffisant? Je ne vois pas comment détailler plus.
Pour la question 2)c) en remplaçant x par \(\frac{1}{2^k}\) je trouve \(\frac{1}{2}\)+...+\(\frac{1}{2^n}\)-\(\frac{1}{2}\)(\(\frac{1}{4}\)+...+\(\frac{1}{4^n}\))<ln(1+\(\frac{1}{2}\))+...+ln(1+\(\frac{1}{2^n}\))<\(\frac{1}{2}\)+...+\(\frac{1}{2^n}\)
Je pense que l'on peut faire quelque chose avec les membres de droite et de gauche en enlevant Sn mais je sais pas comment m'y prendre.
Merci beaucoup pour votre aide
A bientôt
Antoine
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Invité
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SoS-Math(4)
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Bonsoir,
vous allez prendre l'encadrement montré à la question 1.
Ecrire cet encadrement en remplaçant x par 1/2
ensuite dessous :
Ecrire cet encadrement en remplaçant x par \(\frac{1}{2^{2}}\)
ensuite dessous,
Ecrire cet encadrement en remplaçant x par \(\frac{1}{2^{3}}\)
etc etc
Enfin
Ecrire cet encadrement en remplaçant x par \(\frac{1}{2^{n}}\)
On obtient donc n encadrements , et il faut ajouter ces n encadrements termes à termes. Alors vous tomberez sur le résultat à montrer, si vous observez bien ce que vous obtenez.
sosmaths
vous allez prendre l'encadrement montré à la question 1.
Ecrire cet encadrement en remplaçant x par 1/2
ensuite dessous :
Ecrire cet encadrement en remplaçant x par \(\frac{1}{2^{2}}\)
ensuite dessous,
Ecrire cet encadrement en remplaçant x par \(\frac{1}{2^{3}}\)
etc etc
Enfin
Ecrire cet encadrement en remplaçant x par \(\frac{1}{2^{n}}\)
On obtient donc n encadrements , et il faut ajouter ces n encadrements termes à termes. Alors vous tomberez sur le résultat à montrer, si vous observez bien ce que vous obtenez.
sosmaths