logarithme népérien exercice serie scientifique

[Invité]

Bonjour!

j'aurai besoin d'aide j'ai répondu à certaines questions mais je ne croi pa que cela soit juste, si vous pouviez corriger ce que j'ai fait et me dire la marche à suivre pour les autres questions. je vous en remerci d'avance . :)

sujet:
1) On concidère la fonction definie sur [0;+infini[ par f(x)=(ln(x+1))/x si x est strictement superieure à 0 et f(o)=1. Montez que f est continue en 0.

Ma réponse :on calcul d'abord la derivée de f(x) qui est f'(x)= (((1/(x+1))x -1(ln(x+1)))/x² =(ln(x+1))/x² puis on calcul f'(o)=(ln(o+1))/0²=0
donc vu que f'(x) fait est constante en 0,f est donc continue en 0.

2)a) Etudiez les sens de variations de la fonction g définie sur [o;+ infifni[ par g(x)=ln(1+x)-(x-(x²/2)+((x^3)/3)) .Calculer g(0) et en déduire que sur R+: ln(1+x)est plus petit ou égal (x-(x²/2)+((x^3)/3))

Ma reponse: on calcul la dérivée de g : g'(x)=(1/(x+1))-1=-x/(x+1)d'aprés le signe de la derivée on en déduit le tableau de variations de la fonction g donc g est croisante sur [0;1]et decroisante sur [1;+infini[

b)Par une étude analogue, montrer que si x est supérieur ou égal à 0, alors ln(1+x) est supérieur ou égal à x-(x²/2).

c) Etablir que pour tout x srictement positif on a -(1/2)inférieur ou égal a (ln(1+x)-x)/x² inférieur ou égal a -(1/2)+(x/3).
en déduir que f est dérivable en 0 et que f'(o)=(-1/2).


Elodie








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[SoS-Math(6)]

Bonjour Elodie,
Question 1)
Ce n'est pas la bonne méthode : pour montrer qu'une fonction est continue en un point xA, il faut calculer la limite de cette fonction en A et vérifier qu'elle soit égale à f(xA).
N'utilisez donc pas la dérivée de f ici. De plus, vous avez "réussi" à effectuer une division par 0 dans le calcul de f'(0)...
Question 2)
Votre dérivée n'est pas juste :
\(g(x)=ln(1+x)-x+\frac{x²}{2}-\frac{x^3}{3}\)
N'oubliez pas de dériver x, x² et x^3.
Mettez ensuite tout au même dénominateur et des simplications apparaîtront. Attention au signe.
Bon courage

[Invité]

Je trouve exactement la même dérivée :
g' (x) = - x / (1 + x) , je ne vois pas pourquoi c'est faux...
En dérivant ln (1+x) on obtient : 1 / (1+x)
Puis on dérive x : cela donne : 1
On dérive x²/2 soit ½ x² ce qui nous donne : ½*2*x = (2/2) x = x
On dérive x³/3 soit ⅓ x³ ce qui nous donne comme dérivée : ⅓*3*x² = (3/3) x = x
Au final on a donc :
g' (x) = 1 / (1+x) - ( 1 - x + x )
donc g' (x) = [ 1 / (1+x) ] - 1
donc g' (x) = 1 - 1 - x / (1+x)
donc g' (x) = - x / (1+x)
Etes vous sur que la dérivée est fausse ? Avec cette dérivée j'ai réussi tout l'exercice... Alors ou est le problème ? Merci. Marine

[SoS-Math(4)]

bonjour ,

la dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\)

Dans votre calcul l'exposant 2 disparait à la fin du calcul.

sosmaths