Complexes et arguments

[Invité]

Bonjour,

Je suis en train de faire un dm mais je suis bloquée à une question..
On note A, B, C les points d'affixes respectives -i et 3i et i.
On note f l'application qui, à tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que :
z'= (iz+3)/(z+i)
Il faut que je démontre que pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que arg(z')=(vecteurMA, Vecteur MB)+ pi/2
J'ai donc écrit que :
(vecteurMA, Vecteur MB) = arg[(zB-zM)/(zA-zM)]
= arg [ (3i-z)/(-1-z)]
= arg [(-3i+z)/(i+z)]
Je remarque par ailleur que i(-3i+z) = 3+iz.. MAis je n'arrive pas à conclure car je n'ai pas le droit de multiplier par i uniquement le membre du haut... Pouvez vous m'aider à terminer ?

Et j'en profite pour vous poser une autre question. Je dois déterminer l'ensemble des oints M d'affixe z tels que z' soit un nombre complexe imaginaire pur non nul.
J'ai donc écris que : (iz+3)/(z+i)= [(iz+3)(z-i)]/[(z+i)(z-i)]
= [(izcarré-3i)/(zcarré+1)] + (4z)/(zcarré+1)

ensuite j'ai résolu 4z/ (zcaré+1)=0 et j'ai trouvé que z=0
Je trouve donc que l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre imaginaire pur non nui est les point qui appartiennet à la droite delta d'équation x=0... Est-ce comme ça qu'il faut que je réponde .

Merci par avance pour votre aide qui m'est précieuse

Susie

[SoS-Math(5)]

Bonjour Suzie
Tout ce que tu as fait est bien ; tu as trouvé que :
\(\arg(z')= \arg\left( \dfrac{iz+3}{i+z} \right)= \arg\left( \dfrac{i(-3i+z)}{i+z} \right)= \arg\left( \dfrac{-3i+z}{i+z} \right)+\arg(i)\)
et tu as trouvé que :
angle\((\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}) =\arg\left( \dfrac{-3i+z}{i+z} \right)\)

Tu peux facilement conclure. Bon courage.

[Invité]

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse, j'ai ainsi pu conclure ma réponse...
J'ai cependant un autre problème. Voici l'énoncé : soit M d'affixe z un point du cercle de dimètre [AB] privé des point A et B. A quel ensemble appartient le point M' ?
Je sait que zA= -1 que zB = 3i et que l'on note f l'application qui, à tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que :
z'= (iz+3)/(z+i)
JE sais en outre, gra^ce aux questions précédentes, que arg(z')= (vecteurMA, vecteurMB)+ pi/2
J'aurais besoin de votre iade car je ne sais absolument pas quoi faire pour répondre à cette quetion..

Merci d'avance pour votre aide.. Et bonnes fêtes de fin d'année !

Susie

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Vous savez que le point M appartient au cercle de diamètre [AB] privé des points A et B.

Que peut-on dire alors de \(1$(\vec{MA},\vec{MB}),\)
Attention il y a deux cas possibles suivant l'orientation de l'angle( faites une figure).
Ensuite vous utilisez le résultat montré juste avant.
sosmaths