Etude fonction f(x) = x + √(|4²-1|)

[Claire]

Bonjour,

je dois faire une étude de la fonction f(x) = x + √(|4²-1|) en suivant des étapes et certaines me posent problème..

Voici ci dessous une question que je n'arrive pas à résoudre car il faut calculer 4 limites (je présume) et je n'arrive pas à lever l'indétermination pour 2 d'entre elles.

La consigne est en noir et dessous ce que j'ai tenté de faire :

Merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
L'idée lorsqu'on a une valeur absolue est de la faire sauter afin de pouvoir travailler, car si on la garde on ne peut rien faire !
C'est bien pour cela qu'on te demande de te placer de part et d'autre de \(\frac{1}{2}\) et de \(\frac{-1}{2}\).
Il faut que tu trouves l'expression de \(|4x^2-1|\) sur les trois intervalles \(]-\infty;\frac{-1}{2}[\), \(]\frac{-1}{2};\frac{1}{2}[\) et \(]\frac{1}{2},+\infty[\),
Par exemple, sur le premier \(4x^2-1>0\), donc la valeur absolue est égale au nombre \(|4x^2-1|=4x^2-1\)
Ensuite sur le deuxième \(4x^2-1<0\), donc la valeur absolue est égale à l'opposé du nombre \(|4x^2-1|=1-4x^2\)
Puis après, pour lever les indéterminations, tu multiplies tout par 2, tu as du \(2x+1\), et dans ta racine tu reconnais du \((2x+1)(2x-1)\) (ou \((1+2x)(1-2x)\)et il y a encore un peu de travail.
Bon courage

[Claire]

Bonsoir,

merci beaucoup pour vos indications qui m'ont déjà bien aidé.

Voici les 4 limites que je dois calculer (en ayant remplacé les valeurs absolues par les valeurs correspondantes suivant l'intervalle).

Par contre, malgré vos explications, je n'arrive toujours pas à lever mon indétermination (le mêm problème se répète logiquement dans les 4 cas...).
J'ai tout d'abord tout multiplié par 2 mais je ne comprends pas ce que ça apporte si l'on développe la racine puisqu'on ne peut pas simplifier comme l'expression est sous la racine.
J'ai donc ensuite essayé de factoriser par (2x+1) mais ça n'a pas non plus été concluant (toujours une FI).
J'ai ensuite essayé de tout mettre "au carré" pour supprimer la racine mais cela ne m'a avancé à rien.

Je ne vois vraiment plus comment continuer...

[sos-math(21)]

Bonjour,
Par exemple, en 0,5 à gauche
\(\frac{2x+1+\sqrt{(2x+1)(2x-1)}}{2x+1}=1+\sqrt{\frac{(2x+1)(2x-1)}{(2x+1)^2}}=1+\sqrt{\frac{2x-1}{2x+1}}\) ce qui a priori en -0.5 donne une limite infinie donc elle ne serait pas dérivable en -0,5.
C'est de la même teneur pour les autres, l'idée étant de chasser un zéro au numérateur ou au dénominateur.
Vérifie cela et dis moi.

[Claire]

Bonjour,

merci pour votre explication.
J'ai réessayé mon calcul aussi pour en 0,5 à gauche.

Mais n'auriez-vous pas fait une erreur de calcul en multipliant tout par 2? Ne faut il pas aussi multiplier √(2x+1)(2x-1) aussi par 2?

Car dans ce cas là, j'obtiendrais 1 + √(4(2x-1)/(2x+1)).

Mais j'ai du mal à comprendre pourquoi le résultat tendrait vers une limite infinie puisque ce n'est pas réel lorsque l'on remplace x par -1/2...

Je suis vraiment désolée pour le dérangement mais cet exercice me dépasse.

[sos-math(21)]

effectivement, j'ai oublié le 2 devant la racine carrée, ce qui ne change rien à la démarche.
La question est de savoir si oui ou non, la fonction est dérivable en 0,5. Si tu trouves une limite infinie à ton quotient ce n'est pas grave, cela veut simplement dire que ta fonction ne va pas être dérivable en 0,5. Cela a l'air d'être le cas ici.
Attention dans ce que tu as écrit et envoyé en scan, il y a des erreurs \(|4x^2-1|\) vaut soit \(4x^2-1\) soit \(1-4x^2\) mais jamais \(4x^2+1\).
reprends cela

[Claire]

Oui merci, effectivement je m'étais trompée en recopiant...
Après avoir rectifié mon erreur, j'ai recalculé et j'ai trouvé la même chose pour x--> -0,5- et -0,5+ ( c'est à dire 1+√(4(2x-1)/(2x+1)) )
Et 1+√(4(2x+1)/(2x+1)) pour x--> 0,5- et 0,5+.

Par contre, derniere chose, vous avez dit que les limites de ces termes sont infinies, mais je ne sais pas dans quels cas ça sera +∞ et dans quels cas -∞...

[sos-math(21)]

Comme ton indéterminée est sous la racine carrée, ce qui sortira sera nécessairement du \(+\infty\).
Pour t'en convaincre (en effet c'est plutôt rare qu'une fonction ne soit pas dérivable au lycée), trace ta fonction à la calculatrice, tu verras deux creux au niveau de 0,5 et -0,5, et en zoomant, tu verras qu'il y a deux demi-tangente verticales en ces points, ce qui prouve la non-dérivabilité (comme la fonction racine carrée en 0)
Bon courage

[claire]

Merci infiniment pour vos explications!

Effectivement, quelques questions plus tard, on demande "Etudier l'existence de tangeantes à droite et à gauche en -1/2 et en +1/2".
Mais je ne comprenais pas le rapport.

Je m'y attaquerais demain.

En tout cas merci d'avoir consacré de votre temps à répondre à mes questions.