terminale S: parachutage

[Invité]

Bonsoir! alors voila, j'ai un exercice à faire dans lequel j'ai réussi à faire pas mal de choses mais là, je suis bloqué! l'énoncé est le suivant:

Un objet relié à un parachute est est largué à l'instant t=0 en un point O.
On admet que sa trajectoire est verticale et que la resistance de l'air est proportionnelle à la vitesse de penetration dans l'air et on note k ce coefficient de proportionnalité.
A chaque instant t, exprimé en secondes, on désigne par v(t) la vitesse de l'objet et par h(t) son altitude.

1) Ils'agit de demontrer que: m (dv/dt)+kv=mg
ou m est la masse totale de l'objet, en kg, de l'objet et du parachute et g le coefficient d'acceleration de la pesanteur.

**** J'ai réussi à montrer cette égalité en utilisant la 2de loi de Newton sur les forces.

2) On prend: m=8kg , g=10m.s^-2 , k= 25 unités S.I.
On suppose que l'altitude, en metres , du point O est h(0)=100 et que la vitesse initaiale v(o) est nulle.
a) deteminer v(t) en fonction de t.

****dv/dt est une équation differentielle de typa y'=ay+b
avec a= -k/m et b= g
les solutions de l'équation sont donc de la forme gm/k + L*e^(-k/m*t)
la constante L étant déterminable grâce aux conditions initiales, on a:
v(t)=3.2(-e^(-3.125t-1)

b)En déduire que:
h(t)=100-3.2t-1.024(e^(-3.125t)-1)

**** en fait, h(t) est la hauteur à l'instant t, à laquelle on soustrait la distance parcourue entre l'instant initial et l'instant t.
Or, la vitesse est la dérivée d'une distance.
la distance parcourue entre l'instant initial et l'instant t est donc la fonction dont v(t) est la dérivée.
soit D(t) cette fonction. D(t)=3.2t+1.024(e^(-3.125t)-1).(primitive de v(t))
h(t)=h(o)-D(t). on en déduit bien le résultat demandé.

c) démontrer que l'équation:
100-3.2t-1.024(e^(-3.125t)-1)=0 possède une solution unique t1.
En déduire une valeur approchée, à une seconde près, de la durée de la chute et une valeur approchée, a 0.1m.s^-1, de la vitesse à l'arrivée du sol.

**** en dérivant, en faisant un tableau des variations et en appliquant le théorème des valeurs intermediaires, je trouve que t1 est environ égal à 31.5 s. la durée de la chute est donc d'environ 31.5 secondes et v(31.5)=3.2 m/s.

3) Reprendre la question précédente, en supposant que l'objet est largué d'une altitude de 500m.

**** J'ai refait de la meme manière que précedemment.
Est ce normal que cela ne change absolument rien aux résultats?

4)Reprendre la question précedente en supposant que l'objet est largué avec une vitesse verticale de 5 m.s^-1.

**** là, j'ai un petit souci: je détermine que v(t)=3.2+1.8e^(-3.125t)
Comment puis-je déterminer la primitive de v(t)?

5)On se place dans le cas général.
On suppose que l'objet est largué à une altitude h0 avec une vitesse verticale v0.
On désigne par t1 la durée de la chute et v1 la vitesse de l'objet lorsqu'il arrive au sol.

a) Démontrer que, pour tout réel t de [0 ; t1]:
v(t)=(v0-3.2)(e(-3.125t)-1)+3.2
et h(t)= h0+(0.32v0-1.024)(e^(-3.125t)-1)-3.2t

b) dans cette question, on suppose que v0est plus petit ou égal à 3.2
Justifier que v1 soit plus petit ou égal à 3.2.

c)Dans cette question, on suppose que:
v0 est compris entre 3.2 et 100 et h0 est supérieur ou égal à 10.
Démontrer que , pour tout réel t de [0 ; t1 ] :
h(t) est supérieur ou égal à (10-3.2t).
En déduire que:
t1 est supériaur ou égal à 3 et v1 est plus petit ou égal à 3.21.

**** Pour cette question 5, je ne vois pas comment faire.

Je vous prie de bien vouloir excuser la longueur de ce message et vous serait extrêment reconnaissante de bien vouloir m'aider pour la résolution de cet exercice.
Je vous en remercie d'avance! bonsoir! Marie.

[SoS-Math(4)]

bonsoir,

Ce que vous avez fait est à peu près correct.
Cependant à la question 2, il manque une ) dans l'expression de v(t).
En 2)b) vous avez trouvé une primitive de v(t), à la question 4 ce n'est pas plus difficile:
On trouve : \(3.2t-\frac{1.8}{3.125}e^{-3.125t} +C\)

De même en 5) ce n'est pas plus difficile: Je vous montre pour v(t):
V est solution de la même équation différentielle qu'en 2.
\(v(t)=3.2+Le^{-3.125t}\)
En faisant t=0 on obtient v(0)=3.2+L d'ou L=v(0)-3.2


En remplaçant L par cette valeur dans l'expression de v(t), on obtient l'expression de V(t) qui n'est pas celle de votreénoncé qui contient je pense une erreur. En effet on devrait trouver v0 en faisant t=0, or ontrouve 3.2.
vérifier votre énoncé et essayer de faire la suite.
Bon courage

Sosmaths

[Invité]

merci pour vos indications. Et, effectivement, mon énoncé contenait une erreur. Pourriez vous me donnez une petite aide pour la 5 b) et 5 c)?
parce que, meme si j'y ai réfléchi pas mal de temps, je ne sais pas trop comment m'y prendre.
je vous remercie d'avance! bonsoir! Marie.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
je pense qu'il y a une autre erreur dans votre texte.
Si \(V(t) = (V_0 - 3,2)(e^{-3,125t}- 1)+3,2\)
alors on peut prouver que \(V(t)\geq3,2\)

En effet :
si \(t\geq0\) alors \(-3,125t\leq0\) donc
\(e^{-3,125t}\leq1\) d'où \(e^{-3,125t}-1 \leq0}\)
De plus \(V_0 \leq3,2\) donc \(V_0 - 3,2 \leq0\)

D'où \((V_0 - 3,2)(e^{-3,125t}- 1)\geq0\)
donc \(V(t)\geq3,2\)

Bon courage

[Invité]

Bonsoir! jai tenté de faire la 5) c) en suivant le meme modèle que la b), c'est à dire en raisonnant avec des innégalités, mais, je trouve un résultat abhérent! Pourriez-vous m'aider? merci d'avance! Marie.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
il suffit de montrer que 0,32 V0 - 1,024 <0 en partant de V0>3.2
Bon courage