Term S:problème avec les nombres complexes

[Invité]

Bonjour

Voici l'énoncé de l'exercice que je n'arrive pas à faire:
On considère le nombre complexe a=\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)-i\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
1) Calculer a² et déterminer le module et un argument de ce nombre
2) En déduire le module de a et vérifier que \(\frac{19\pi}{12}\) est un argument de a.
3) Représenter sur une même figure les points d'affixes a, -a et a²
4) déduire de ce qui précède les valeurs exactes de cos\(\frac{7\pi}{12}\), sin \(\frac{7\pi}{12}\), puis cos\(\frac{\pi}{12}\) et sin\(\frac{\pi}{12}\)
5) Représenter l'ensemble des points M(z) tels que a²z soit réel

Pour la question 1) j'ai trouvé a²=2-\(\sqrt{3}\)-2i-i\(\sqrt{3}\) mais je ne sais pas si on doit laisser l'expression de a² ainsi ou s'il y a moyen de la simplifier.

Merci et à bientôt

[SoS-Math(8)]

Bonjour,

Le résultat est faux: Et les égalités remarquables !
\((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\)
donc
\(\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-i\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2=2-\sqrt{3}-2i\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}-2-\sqrt{3}\)

A vous de finir.

[Invité]

Bonjour

Je crois qu'avec votre aide j'ai fini par trouver le résultat.
a²=2-\(\sqrt{3}\)-2i(2-\(\sqrt{3}\))-2-\(\sqrt{3}\)
= -4i+2i\(\sqrt{3}\)
= 2i(-2+\(\sqrt{3}\))

Merci beaucoup
Je vais maintenant essayer de faire la suite

[SoS-Math(8)]

Bonjour,
votre résultat est faux car:
\(\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\sqrt{4-3}\)
Et oui, encore une égalité remarquable: \((x-y)(x+y=x^2-y^2\).
Et ce n'est pas la seule erreur...
Il faut reprendre les bases des calculs classiques.
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Voilà ce que j'ai trouvé
a²=2-\(\sqrt{3}\)-2i(\(\sqrt{4-3}\))-2-\(\sqrt{3}\)
=2-\(\sqrt{3}\)-2i-2-\(\sqrt{3}\)
=-2\(\sqrt{3}\)-2i
=-2(\(\sqrt{3}\)+i)
Est-ce que c'est le bon résultat?

Merci beaucoup

[SoS-Math(8)]

Oui.

[Invité]

Bonjour

Pour la question 1), j'ai ensuite trouvé que sachant que a²=-2\(\sqrt{3}\)-2i
Le module de a² est \(\sqrt{(-2\sqrt{3})²+(-2)²}\)=\(\sqrt{11}\)-2\(\sqrt{\sqrt{3}}\)

Soit z=a²
z=(\(\sqrt{11}\)-2\(\sqrt{\sqrt{3}}\))(\(\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}}\)-\(\frac{2i}{\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}}\))
Si arg z="téta"(2\(\pi\))
cos"téta"=\(\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}\)
sin"téta"=\(\frac{2}{\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}}\)

A partir de là je ne vois pas comment déterminer "téta" un argument de a². Je ne suis pas sûr de mes calculs. Comment faut-il faire?

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,

Vous écrivez : \(\sqrt{(-2\sqrt{3})²+(-2)²}=\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}}\)
Ce calcul n'a aucun sens !!

\(\sqrt{(-2\sqrt{3})²+(-2)²}=\sqrt{12 + 4} = ......\)

A vous de continuer et de refaire la suite!

[Invité]

Bonsoir
On trouve donc que |a²|=\(\sqrt{12+4}\)
=\(\sqrt{16}\)
=4
Soit a²=-2\(\sqrt{3}\)-2i
a²=|a²|(cosO+isinO) (O="téta")
= 4(cosO+isinO)
Faut-il procéder ainsi?

[SoS-Math(2)]

C'est cela..
Bon courage

[Invité]

Bonjour
Voici la suite de mes réponces:

1) a²=4(cosO+isinO)
-2\(\sqrt{3}\)-2i=4(cosO+isinO)
cosO+isinO=\(\frac{-2\sqrt{3}-2i}{4}\)
Si arg a²=O(2\(\pi\))
cosO=\(\frac{-2\sqrt{3}}{4}\)=-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sinO=\(\frac{-2}{4}\)=\(\frac{-1}{2}\)
O=-\(\frac{5\pi}{6}\)+k2\(\pi\)
donc |a²|=4 et arg a²=-\(\frac{5\pi}{6}\)(2\(\pi\))

2) |a|=\(\sqrt{4}\)=2
arga²=2arga (2\(\pi\))
arg a=\(\frac{arga²}{2}\)
arg a=-\(\frac{5\pi}{12}\) (2\(\pi\))
\(\frac{19\pi}{12}\)=-\(\frac{5\pi}{12}\)+2\(\pi\)
donc \(\frac{19\pi}{12}\) est un argument de a

3) J'ai réussi à représenter a² mais je ne vois pas comment faire pour a et -a

4) comment fait on pour calculer cos et sin de \(\frac{19\pi}{12}\)

5) Je ne comprend pas la question

Merci pour votre aide
A bientôt

[SoS-Math(2)]

Encore un peu de courage ...
Vous connaissez |a| donc la longueur OA et vous savez que arg(a) = 1/2 arg(a²)
donc vous savez que l'angle \((\overrightarrow{u};\overrightarrow{OA}\) = 1/2 \((\overrightarrow{u};\overrightarrow{OB})\) si le point B représente a²

Pour calculer \(cos (\frac{19 \pi}{12})\) ainsi que son sinus, rappelez vous que \(\frac{19 \pi}{12}\) = \(\frac{-5\pi}{12}+2 \pi\)
donc \(cos (\frac{19 \pi}{12}) = cos (\frac{-5 \pi}{12})\)
et \(\frac{-5 \pi}{12} = \frac{1}{2} \times \frac{-5 \pi}{6}\)
Aussi pensez à utiliser les formules de duplication.
A vous de continuer.

[Invité]

Bonjour

J'ai réussi à faire la question 2). Merci pour votre aide.
Pour la question 3) j'ai trouvé cos 7\(\pi\)/12=\(\sqrt{3}\)/4
sin 7\(\pi\)/12=1/4
cos \(\pi\)/12=1/4
sin \(\pi\)/12=-\(\sqrt{3}\)/4
Je ne comprend pas du tout ce qu'il faut faire pour la question 5).

Merci beaucoup pour votre aide

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
pour la question 5, il faut se rappeler que z est un réel ssi arg(z) = 0 [pi]
donc a²z est un réel ssi arg(a²z) = 0 [pi]
et vous savez que arg(z z') = arg(z) + arg(z')
A vous de continuer...

[Invité]

Merci beaucoup pour votre aide qui m'a permis de finir cet exercice.