Terminale S Probabilités

[Invité]

Bonjour,

L'énoncé de mon exercice est le suivant.
Combien d’habitants doit avoir un village pour que l’on puisse affirmer sans se tromper que 2 personnes au minimum ont les mêmes initiales.

Je propose de raisonner ainsi : soit D l'évènement "Il y a au moins deux habitants qui ont la même initiale". L'évènement contraire D barre est "Tous les habitants ont des initiales différentes".
Je suppose que toutes les initiales ont la même probabilité, on est donc dans un cas d'équiprobabilité. Je cherche le cardinal de l'univers Oméga soit 26 puissance n (1 habitant a 26 initiales possibles, 2 habitants ont 26 puissance 2 initiales possibles, ... n habitants ont 26 puissance n initiales possibles).
Les cas favorables sont au nombre de 26 x 25 x ... x (26 - (n - 1)) : le premier habitant a 26 initiales possibles, le second 25 etc...
On a donc p(D barre) = (26 x 25 x... x (26 - (n - 1)))/(card(Oméga))
Comme on veut être sûr de D, sa probabilité doit être égale à 1, donc celle de D barre égale à 0 ce qui donne n = 27.
Merci de critiquer ce raisonnement s'il vous paraît erroné.

Jean

[SoS-Math(4)]

bonjour ,

cet exercice n'est pas un problème de probabilité. De plus votre solution part d'une hypothèse fausse, qui est que les probabilités de chaque lettre en tant qu'initiale sont égales.
un raisonnement très simple permet d'arriver au même résultat. Ce raisonnement est appellé le principe des tiroirs. Il dit que si vous avez n tiroirs contenant en tout n+1 chemises, alors il existe au moins 1 tiroir contenant au moins 2 chemises.
Je vous laisse adapter ce principe à votre exercice.
sosmaths

[Invité]

Bonjour,

et merci de votre réponse pour ce principe des tiroirs que je ne connaissais pas car je ne l'ai pas retrouvé dans mon cours ni dans mon livre. N'y at-il pas une solution qui utilise le cours "classique" de terminale ?

Jean

[SoS-Math(4)]

bonjour,

Ce principe n'est pas étudié dans un cours et on peut l'appliquer même sans l'avoir jamais vu car c'est de la logique.

Si vous avez 3 pièces de 1 euro dans vos poches et s'il n'y a que 2 poches alors l'une d'elle contient au moins 2 pièces. évident, non ?

Sos maths