Démo ROC exponnentielle

[Didoof136]

Bonsoir. Je dois faire la démonstration de la propriété suivante sur l'exponnentielle:

exp(na)= [exp(a)]^n

j'ai essayer avec une petite démonstration par récurence:
Initialisation: pour n=0,
exp(na)=exp(0) et [exp(a)]^0=1
=1
La propriété est initialisée.
Hérédité: on considère la propriété vraie pour UN certan naturel n et on prouve qu'elle est vraie au rang n+1:
exp(n+1xa)=exp(na +a)
=exp(na) x exp(a)

et à partir de la je bloque puisque je retombe sur l'écriture de départ. Si vous pouviez m'aidez à m'en sortir,sa serait sympatique, merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Didoof136 (?),

Ton idée est bonne ...
tu as écrit :
exp((n+1)xa)=exp(na +a) (oubli des parenthèses)
=exp(na) x exp(a)

utilise alors ta propriété : exp(na)= [exp(a)]^n
puis utilise la propriété sur les puissances : b^n * b^m = b^( ...) (à toi de compléter).

Bon courage,
SoSMath.

[Didoof136]

Merci d'avoir répondu si vite.
donc on obtient:

exp(na) x exp(a)= [exp(a)]^n x exp(a)
= [exp(a)]^n+1
et on conclue en diseant que la propriété est vraie au rang 0 et au rang n+1: elle est donc vaie pour tout n appartenant à N.

J'ai juste une autre question. Est-ce que cette démonstration est aussi valable lorsque a est négatif? Car dans ce cas, il faudrais utiliser la propriété exp(-a)= 1/ exp(a)

Et encore merci.

[SoS-Math(9)]

C'est presque correct !
Tu as encore oublié les paranthèses ...(dans "= [exp(a)]^n+1")

Je ne pense pas qu'il soit utile de la faire pour a négatif, car le réel a n'intervient pas dans ta démonstration.

SoSMath.

[Didoof136]

Merci, c'est corrigé. Sur ce, je vous souhaite une bonne soirée.

[SoS-Math(9)]

Merci et bon courage pour la suite.

SoSMath.