Terminale S La récurrence/ fonction exponentielle

[Invité]

Bonjour,
Je dois rendre un DM jeudi, et je l'ai fait entièrement sauf un éxercice, portant sur la récurrence. Je ne vois pas du tout comment faire. Voici l'énoncé :
On note n! le produit des n entiers non nuls inférieur ou égaux à n. On a donc n!= 1*2*3*...*(n-1)*n
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n>ou= à 1 :
e(x)>ou = à (xpuissance n)/(n!)

Merci par avance pour votre aide...

Lola

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Poser \($f(x)=e^x-\dfrac{x^n}{n!}\) et étudiez cette fonction.

Bon courage !

[Invité]

Bonjour,
Ne réussissant pas à faire ce que vous m'avez suggérer, j'ai procédé d''une autre manière. Tout d'abord j'ai étudié la fonction f(x) définie par
f(x)= e^x-x
En calclant sa dérivé j'ai trouvé que f(x) était toujours postive car elle était minorée par 1. Je peux donc en conclure que P1 est vraie car f(x) >= 0
Ensuite en supposant que P(n) est vraie, soit e^x>= à (x^n)/n!, il faut que j'étudie P(n+1) c'est à dire que j'étudie la fonction définie par e^x-(x^(n+1))/(n+1)!
Mais je n'arive pas l'étudier, mon premier problème étant de caluler sa dérivé...

Merci de vorte aide

[SoS-Math(7)]

Bonjour Lola,

Le début de ton travail est très pertinent et juste (c'était le but de mon aide).
La fonction (rang (n+1)) est \(f(x)=e^x-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)! }\)

Pour ta dérivé : comment cette fonction est-elle composée ?
L'écriture de la fonction sous cette forme t'aidera peut-être...
\(f(x)=e^x-\dfrac{1}{(n+1)! }\times{x^{n+1}}\)

Bon courage !

[Invité]

Bonjour,
Ma fonction f étant définie par
f(x)= e^x- x^(n+1)/(n+1)!
Je peux écrire que
f(x) =U(x) - (V(x)/W(x)
U(x) = e^x
V(x) = x^(n+1)
W(x) = (n+1)!
Donc f'(x) = U'(x)- (V'(x)W(x)-V(x)W'(x))/ W(x)au carré
U'(x)= e^x
Mais je n'arrive pas a trouver V'(x), W'(x) et w(x) au carré.
Est ce que V'(x) = 1x^(n+1) ?

Merci beaucoup pour votre aide...

[SoS-Math(7)]

Bonsoir

\(f(x)=e^x-\dfrac{1}{(n+1)! }\times{x^{n+1}}\)

\(u(x)=e^x\) et \(v(x)=x^{n+1}\) dont les dérivés sont
\(u'(x)=e^x\) et \(v'(x)=(n+1)x^{n+1-1}=(n+1)x^n\) (résultat de la classe de première)
\(\dfrac{1}{(n+1)!}\) est une constante.

Je te laisse finir ce travail.
Bon courage.