Continuité et dérivabilité

[Coralie]

Bonjours, j'ai un petit souci dans cet exercice du Dm et je n'arrive pas à trouver la dérivabilité de cette fonction, si vous pourriez me donner un petit coup de pouce !!
f est definie sur [o;+\(\infty\)[ par f(x)=e^(-1/x) si x>0 et f(0)=0

Voila le prof nous a dis qu'elle était dérivable mais je n'arrive pas à lever la forme inderterminée
si vous pouviez vraiement m'aider je vous en remercie
Coralie

[SoS-Math(4)]

Bonjour Coralie,

Pour montrer que f est dérivable en 0, il faut montrer que la limite de (f(x)-f(0))/x est un réel lorsque x tend vers 0.

Donc que lim f(x)/x est un réel lorsque x tend vers 0.

Or f(x)/ x = -(-1/x)e^(-1/x)

Or il ya une formule de terminale qui dit limite de xe^(x) lorsque x tend vers - l'infini est egale à 0. Essayer de l'appliquer à l'expression au dessus, en posant u =-1/x. Excusez moi, l'écriture en Tex ne veut pas bien fonctionner.

Bon courage

sosmaths

[Coralie]

Mais c'est la dérivabilité en 0 donc on ne peux pas faire comme vous me le dite limite xe^(x)=0 quand x tend vers - l'infini
sinon vous me dite de poser u=-1/x donc limite f(x)/x = limite u.e^(-1/x)
Mais sinon est ce que on ne peux pas dire avec limite f(x)/x = limite (-1/x)*e^(-1/x) = 0 avec lim (-1/x)=0 et limite e^(-1/x)=0 (les 2 limites quand x tend vers 0)

est ce que vous pourriez me répondre svp pour que je puisse avancer
je vous en remercie d'avance et m'escuse également pour ne pas pouvoir écrire en tex.
Coralie

[SoS-Math(4)]

lorsque x tend vers 0+, -1/x tend vers - l'infini, donc u=-1/x tend vers - l'infini.

On doit donc calculer la limite de -ue^u lorsque u tend vers - l'infini. Or cette limite est nulle d'après le théorème donné dans l'autre message.

Donc ta fonction est dérivable en 0, et son nombre dérivée en 0 est 0. La courbe représentative admet donc une tangente en parallèle à l'axe des abscisses.
Bonne continuation,

sosmaths

[Coralie]

et on cherche la limite en 0+ et non en - l'infini
alors pourquoi on doit dire que limite u = 0 lorsque x tend vers - l'infini??
je suis completement perdu
si vous pourriez m'éclairer
Merci

[sos-math(12)]

Bonjour Coralie :

Regarde bien les réponses qui t'ont été faites. Lorsque x tend vers \(0^{+}\) la fonction u tend vers \(-\infty\).
Donc chercher la limite quand x tend vers \(0^{+}\) de u exp(u) revient à chercher la limite quand x tend vers \(-\infty\) de x exp(x).

Bonne continuation.

A bientôt

[Coralie]

merci beaucoup
Coralie