DM sur Suites

[Kamel]

Bonjour voici un DM ou je bloque à une question qui ne me permet pas d'avancer ..
On a :
Un= (1+2/n)Un-1+(6/n) ( pour tout entier n>1 ou égale )
Uo=5

1.a)Calculer U1 ( c'est fait je trouve U1= 21 )

b) les valeurs U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8,U9,U10,U11 sont respectivement égales à :
45,77,117,165,221,285,357,437,525,621
A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite (Dn) définie par Dn= Un+1-Un. ( C'est fait , suite arithmétique de raison 8 )

2. On considere la suite arithmétique ( Vn) de raison 8 et de 1er terme Vo=16
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n²+12n

3. Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant a N :
Un= 4n²+12n+5

4. Valider la conjecture émise à la question 1.b)

Voilà donc je bloque à la question 2 avec la somme des termes , je commence comme ça:
Sn= (n+1) ( (Vo+ Vn) / 2 )
Sn = ( n+1) ( (16+Vn) / 2 )
Mais comment aboutir a 4n² + 12n + 5 ?
merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Kamel,

Il faut exprimer Vn en fonction de n (tu sais que c'est une suite arithmétique)

Cependant S = V0 + ... + Vn n'st pas égale à 4n²+12n !
(Teste ta formule pour n=1, S = 16 + 24 = 32 et 4n²+12n = ...)
Peux-tu vérifier ton énoncé ?

SoSMath.

[Kamel]

je viens de trouver la solution pour cette question j'ai oublié de preciser que c'est pour les n premiers termes ..

Donc ça fait : Sn = n ( 16 + 16+(n-1)*8 ) / 2 et cela fait 4n²+12n =)

Mais je n'arrive pas a faire la récurrence pour la question 3.. je suis bloqué a l'hérédité

[SoS-Math(9)]

Bonjour Kamel,

Pour la question 3, utilise la relation de récurrence donnée au début de l'exercice.
exprime U(n+1) en fonction de Un.

Bon courage,
SoSMath.

[Kamel]

Bjr merci pour votre réponse , alors voilà ce que j'ai écrit mais je reste bloqué tout de meme :

1. Initialisation : on a 4x0²+12x0+5=0=U0 donc Po est vraie.

2. Hérédité : on suppose que Pm vraie pour un certain rang m>0 , soit Um = (1+2/m)Um-1 + 6/m
On a : Um+1= ( 1+2/m+1)Um + 6/m+1 ( relation de récurrence )
= ( 1+2/m+1) ( 4m²+12m+5) + 6/m+1 ( hypothèse de récurrence )

Mais voilà je ne sais pas comment finir cette récurrence
Merci

[sos-math(12)]

Bonjour Kamel

Tu es sur la bonne voie : réduis ton expression au même dénominateur et compare le résultat obtenu à 4(m+1)²+12(m+1)+5.
C'est beaucoup de calculs algébriques mais pas de réelles difficultés théoriques.

Bonne chance.

A bientôt.