composée de fonctions et fonctions dérivées

[Kite]

Bonjour,
j'ai un DM de maths à rendre dans la semaine, petit problème avec l'exo 1, je pense avoir réussi un bonne parti de l'exo mais il me semble y avoir un incoherence au niveau des enssembles de définitions.

On désigne par g la fonction définie sur ]-1 ; 1[ par g(0)=0 et g'(x)=1/(racine(1-x²)) ou g' désigne la dérivée de la fonction g sur l' intervalle ]-1 ; 1[.
On ne cherchera pas à expliciter g(x)

On considère alors la fonction composée h définie sur ]-PI ; 0[ on a h'(x)=1 ou h' désigne la dérivée de h.

j'ai donc commencé en disant que h(x)=v°u ° est le rond utilisé pour symbolisé la fonction composé.
u(x)=cos(x) v=g(t) (t=cos(x))
u'(x)=-sin(x) v'(x)=g'(t)=1/(racine(1-t²))

h'(x)=u'(x)*v'(t)
h'(x)=-sin(x)*(1/(racine(1-(cos(x))²))
h'(x)=-sin(x)/(racine(1)-cos(x)) * (racine(1)+cos(x))/(racine(1)+cos(x))
h'(x)=(-sin(x)*(racine(1)+cos(x))/1

voila donc je suis pas tout a fait sur du calcul mais je trouve bien h'(x)=1

mais le problème c'est que h' est une fonction compossée de 2 fonctions définies et dérivables sur ]-1 ; 1[ donc logiquement h' est définie et dérivable sur ]-1 ; 1[ mais dans l'énoncé on dit qu'il est dérivable sur ]-PI ; 0[.

Pourriez vous m'expliquez cette histoire de domaine de définition svp et me dire si je ne me suis pas trompé dans mes calculs.
Je vous remercie d'avance.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Kite,

La fonction cos est définie sur ]-pi ; 0[ et pour x dans cet intervalle cos x varie de -1 à 1, puis pour t = cos x , g est définie sur ]-1 ; 1[, la fonction composée est définie de ]-pi ; 0[ : h(x) = g(cos(x)).
Pour simplifier pense que 1 - t² = 1 - cos² x = sin² x et racine(sin² x) = - sin x car pour x dans ]-pi ; 0[ le sinus est négatif, d'où un calcul un peu plus court de h'(x).
Bon fin d'exercice

[Kite]

Merci, c'est bon j'ai compris,
en revanche après avoir posté l'exercice je me suis rendu conte de 2 erreurs.
La 1er juste une faute de frappe.

h'(x)=(-sin(x)*(racine(1)+cos(x))/(1+cos(x)) et non pas h'(x)=(-sin(x)*(racine(1)+cos(x))/1

Mais 2eme erreur, je suis censé trouvé h'(x)=1 pour tout x compris entre -PI et 0.
Mon 1er réflexe a été calculé h'(PI) et h'(0), youpi ca marche c'est égal a 1.
Mais j'ai ensuite revérifié et je me suis aperçu que c'etait les 2 seuls valeurs pours les quels h'(x)=1 -_-'''
J'ai revu mes calculs mais je ne voie pas ou j'ai fait une erreur. j'ai revérifié mes calculs et comme je ne trouvé pas l'erreur j'ai vérifié la dérivé mais la encore je ne voie pas d'autre possibilité.
Peux tu m'aider stp.
Merci encore.

[SoS-Math(11)]

Rebonsoir

h'(x) = g'(cos x) * (-sin x) avec (v°u)' = v'(u)*u'
Donc h'(x) = (1/racine(1 - cos² x) )*(-sin x), utilise la seconde partie de mon premier message.

Bonne continuation

[Kite]

Rebonsoir,
c'sts effectivement le calcul que j'ai fait.

h'(x)=u'(x)*v'(t)
h'(x)=-sin(x)*(1/(racine(1-(cos(x))²))
en simplifiant j'obtiens
h'(x)=-sin(x)/(racine(1)-cos(x)) * (racine(1)+cos(x))/(racine(1)+cos(x))
h'(x)=(-sin(x)*(racine(1)+cos(x))/1

Mais quel que soit la forme avec la quel je vérifie h'(x), je n'obtiens jamais h'(x)=1 pour tout x de ]-PI ; 0[.
Seulement pour 0 ou 0 et -PI
Ce que tu explique dans la 2eme parti de ton 1er message, je crois que c'est ce que j'ai apliqué dans mon calcul,non?

[SoS-Math(11)]

Bonjour

Il ne faut pas faire cette simplification, (c'est à partir de ce moment que les calculs sont faux), j'ai l'impression que tu confonds avec la multiplication par la quantité conjuguée qui n'a rien à voir avec ton exercice.
ici dans g'(t) remplace t par cos x puis 1 - cos² x par sin² x et utilise le fait que racine(a²) = |a| et que |a| = -a si a < 0.

Bon courage pour la fin

[Kite]

Ha ok oui c'est vrai j'avais complètement zappé que cos² x + sin² x = 1
Donc on a -sin x * 1/V(1-cos² x)=-sin x * 1/ V(sin² x)
= -sinx/V(sin² x)
= -sin x / |sin x| sin x < 0 donc |sin x|=-sin x
= -sin x / -sin x
= 1

et la donc c'est bien égal a 1 sur ]-PI ; 0[

C'est bien ça?

[SoS-Math(11)]

Bonjour

Tout à fait c'est OK

Bonne continuation

[Kite]

Super, encore merci

[sos-math(13)]

à bientôt sur sos-math.