Bonjour,
Voilà je me suis penché sur le problème toute la journée d'hier en vain.... donc si vous avez des pistes... :)
"Soit f et g les fonctions définies sur [o;+∞[ par f(x)=√x et g(x)=√(x+1).
Dans un repère orthonormal, M et N sont les points d'abscisses positives respectivement situés sur les courbes Cf et Cg représentant f et g.
On pose h(x)= MN.
1) à l'aide d'une calculatrice graphique, représenter graphiquement les fonctions f et g et conjecturer la limite de la fonction h en +∞.
2) démontrer que pour tout réel x > ou = 0:
h(x)=1/[√(x+1)]+√x
3) démontrer que pour tout réel x > 0:
0 < ou = h(x)< ou = 1/2√x
4) en déduire la limite de la fonction h en +∞.
5) trouver un réel x[sub]0[/sub] tel que, pour tout réel x > ou = x[sub]0[/sub], MN < ou = 0,05."
Pour la 1, j'ai trouvé que limg=limf=4, enfin si c'est bien en lisant sur l'axe des ordonnées qu'on trouve la limite...
Pour la 2, j'ai essayer avec go f mais ça n'a pas du tout aboutit...
et la suite découlant plus ou moins de la deuxième bah je n'ai pas pu trouver quoi que ce soit, et j'ai fait la deuxième partie sur les nombres complexes donc j'aimerais bien que qqun éclaire ma lanterne (très peu brillante ^^).
Merci par avance!
Limites et fonctions
-
Lutty
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Limites et fonctions
Bonjour Lutty,
Tout d'abord tes limites de f et g en +infini sont fausses !
Si \(\lim_{x \to +\infty}f(x)=4\) et \(\lim_{x \to +\infty}g(x)=4\)
alors \(\lim_{x \to +\infty}h(x)=0\) car h(x) = g(x)-f(x).
Et donc le problème est résolu !!!
Un petit rappel : tu as la limite de référence : \(\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty\).
Voici un peu d'aide :
1) Pour faire ta conjecture, observe ta calculatrice ..
2)Il faut utiliser : \(a-b = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b}\).
3) √(x+1) > √x donc √(x+1) + √x > .... donc 1/[√(x+1) + √x ] .... à toi de compléter.
4) Utilise le théorème d'ncadrement des limites.
5) ??? je n'arrive pas à lire ta question.
Bon courage,
SoSMath.
Tout d'abord tes limites de f et g en +infini sont fausses !
Si \(\lim_{x \to +\infty}f(x)=4\) et \(\lim_{x \to +\infty}g(x)=4\)
alors \(\lim_{x \to +\infty}h(x)=0\) car h(x) = g(x)-f(x).
Et donc le problème est résolu !!!
Un petit rappel : tu as la limite de référence : \(\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty\).
Voici un peu d'aide :
1) Pour faire ta conjecture, observe ta calculatrice ..
2)Il faut utiliser : \(a-b = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b}\).
3) √(x+1) > √x donc √(x+1) + √x > .... donc 1/[√(x+1) + √x ] .... à toi de compléter.
4) Utilise le théorème d'ncadrement des limites.
5) ??? je n'arrive pas à lire ta question.
Bon courage,
SoSMath.
-
Lutty
Re: Limites et fonctions
Bonjour,
Merci beaucoup je viens de lire vos pistes et je vais m'empresser de les appliquer (si j'y arrive ^^).
Pour la question 5,==> trouver un réel xo tel que, pour tout réel x > ou = xo, MN < ou = 0,05."
Mais pour la question 2, je m'étais demandé s'il ne fallait pas utiliser MN vu que h(x)=MN, bien que si j'ai bien compris MN sont en fait tous les points d'abscisses positives des deux courbes c'est ça? Enfin vu que h(x)=g(x)-f(x), je ne vais pas chercher midi à 14h, mais est-ce que j'ai bien compris ce qu'englobent les points MN?
Et une autre question comment sait-on que h(x) = g(x)-f(x)?
Encore merci!
Merci beaucoup je viens de lire vos pistes et je vais m'empresser de les appliquer (si j'y arrive ^^).
Pour la question 5,==> trouver un réel xo tel que, pour tout réel x > ou = xo, MN < ou = 0,05."
Mais pour la question 2, je m'étais demandé s'il ne fallait pas utiliser MN vu que h(x)=MN, bien que si j'ai bien compris MN sont en fait tous les points d'abscisses positives des deux courbes c'est ça? Enfin vu que h(x)=g(x)-f(x), je ne vais pas chercher midi à 14h, mais est-ce que j'ai bien compris ce qu'englobent les points MN?
Et une autre question comment sait-on que h(x) = g(x)-f(x)?
Encore merci!
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Limites et fonctions
Pourquoi h(x) = g(x) - f(x) ?
C'est simple !
MN = \(\sqrt{(x_N-x_M)^2+(g(x_N)-f(x_M))^2}\)
Or xM = xN = x donc MN = \(\sqrt{(g(x)-f(x))^2}\) = | g(x) - f(x) |
Reste à prouver que pour x >= 0, g(x) > f(x), d'où h(x) = g(x) - f(x).
Bon courage,
SoSMath.
C'est simple !
MN = \(\sqrt{(x_N-x_M)^2+(g(x_N)-f(x_M))^2}\)
Or xM = xN = x donc MN = \(\sqrt{(g(x)-f(x))^2}\) = | g(x) - f(x) |
Reste à prouver que pour x >= 0, g(x) > f(x), d'où h(x) = g(x) - f(x).
Bon courage,
SoSMath.
-
Lutty
Re: Limites et fonctions
Ah, d'accord! Merci beaucoup!
Heu juste je suis en train d'essayer de faire le 3)
Du moins cela m'arrangerait ^^...
et pour le h(x) < ou = à 1/(2√x) est-ce que j'ai le droit de partir de ça et voir où ça me mène ou partir de g(x)-f(x) < 1/(2√x), ou cela ne m'est pas permis?
Et merci beaucoup de prendre de votre temps pour m'expliquer! (je trouve ce forum super!)
Heu juste je suis en train d'essayer de faire le 3)
mais ne serait-ce pas plutôt √(x+1) - √x > .... ???SoS-Math(9) a écrit :3) √(x+1) > √x donc √(x+1) + √x > .... donc 1/[√(x+1) + √x ] .... à toi de compléter.
Du moins cela m'arrangerait ^^...
et pour le h(x) < ou = à 1/(2√x) est-ce que j'ai le droit de partir de ça et voir où ça me mène ou partir de g(x)-f(x) < 1/(2√x), ou cela ne m'est pas permis?
Et merci beaucoup de prendre de votre temps pour m'expliquer! (je trouve ce forum super!)
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Limites et fonctions
Non je n'ai pas fait d'erreur ... (regarde la question suivante, cela pourra t'aider à comprendre ce qu'il faut faire).
Et merci pour tes compliments.
SoSMath.
Et merci pour tes compliments.
SoSMath.
-
Lutty
Re: Limites et fonctions
Merci beaucoup pour votre aide!!!
(J'ai fait une pause car en TS on est un peu surchargé bref...)
Donc il ne me reste que la 4) mais je pense pouvoir y arriver avec le théorème des gendarmes. J'ai commencé à regarder la 5) et je voulais savoir si je devais partir de l'égalité h(x) = 0.05 pour trouver x et prendre le chiffre inférieur à 0.00 près pour trouver xo...
C'est cela?
Encore merci!
(J'ai fait une pause car en TS on est un peu surchargé bref...)
Donc il ne me reste que la 4) mais je pense pouvoir y arriver avec le théorème des gendarmes. J'ai commencé à regarder la 5) et je voulais savoir si je devais partir de l'égalité h(x) = 0.05 pour trouver x et prendre le chiffre inférieur à 0.00 près pour trouver xo...
C'est cela?
Encore merci!
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Limites et fonctions
Bonsoir Lutty
Pour la question 5) ta proposition semble correcte.
Bon courage,
SoSMath.
Pour la question 5) ta proposition semble correcte.
Bon courage,
SoSMath.
-
Lutty
Re: Limites et fonctions
Bonsoir,
J'ai réussie la question 5 mais la 4 je planche tjrs, je n'arrive pas à comprendre comment "x peut être assez proche de a" et comment montrer avec exactitude que limg(x)= limf(x), qui est si j'en crois mon graphique = +∞, n'est-ce pas?
Merci par avance.
J'ai réussie la question 5 mais la 4 je planche tjrs, je n'arrive pas à comprendre comment "x peut être assez proche de a" et comment montrer avec exactitude que limg(x)= limf(x), qui est si j'en crois mon graphique = +∞, n'est-ce pas?
Merci par avance.
-
SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Limites et fonctions
Bonsoir Lutty,
Je prends la suite aussi je voudrais savoir si pour la question 4, h(x) = 1/[racine(x) + racine(x + 1)] ou h(x) = racine(x) + 1/racine(x+1) afin de pouvoir t'aider.
Je prends la suite aussi je voudrais savoir si pour la question 4, h(x) = 1/[racine(x) + racine(x + 1)] ou h(x) = racine(x) + 1/racine(x+1) afin de pouvoir t'aider.
-
Lutty
Re: Limites et fonctions
Bonsoir,
Merci beaucoup de bien vouloir m'apporter un peu d'aide,
Dans l'énoncé, h(x) = 1/[racine(x) + racine(x + 1)]
Est-ce que à la question 1) la conjecture de limh(x) est bien égal à +∞?
Ah je crois avoir compris, pouvez vous me dire si mon raisonnement semble juste? (pour la question 4)
"Soit a=+∞. Si pour x assez proche de a, f(x)<h(x)<g(x) et si lim f(x)= lim g(x) = l (ici dc +∞), alors limh(x)=l"
Le truc c'est que lim f(x) = lim g(x) = l ça j'y arrive, mais pour l'encadrement j'ai plus de mal, cela voudrait dire que f(x) < à 0 et g(x) > 1/(2√x) n'est-ce pas? , mais je ne vois pas comment prouver que √x < ou = à 0? pour tout x qui tend vers +∞...
Merci par avance.
Merci beaucoup de bien vouloir m'apporter un peu d'aide,
Dans l'énoncé, h(x) = 1/[racine(x) + racine(x + 1)]
Est-ce que à la question 1) la conjecture de limh(x) est bien égal à +∞?
Ah je crois avoir compris, pouvez vous me dire si mon raisonnement semble juste? (pour la question 4)
"Soit a=+∞. Si pour x assez proche de a, f(x)<h(x)<g(x) et si lim f(x)= lim g(x) = l (ici dc +∞), alors limh(x)=l"
Le truc c'est que lim f(x) = lim g(x) = l ça j'y arrive, mais pour l'encadrement j'ai plus de mal, cela voudrait dire que f(x) < à 0 et g(x) > 1/(2√x) n'est-ce pas? , mais je ne vois pas comment prouver que √x < ou = à 0? pour tout x qui tend vers +∞...
Merci par avance.
-
SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Limites et fonctions
Bonsoir
Pour la question 4 : 0 <= h(x) car h(x) est une somme de deux racines et qu'une racine est positive.
pour tout x >0 la fonction racine est croissante, déduis-en une inégalité entre f(x) et g(x)
Compare alors f(x) + g(x) avec 2*f(x) et déduis-en l'inégalité entre h(x) et 1/2f(x) en passant à l'inverse.
Comme la limite de f(x) en (+ l'infini) est (+ l'infini) déduis-en celle de 1/2f(x) puis celle de h(x).
Pour la 1 : OK
En espérant que ces explications débloquent la situation, bon courage pour la suite.
Pour la question 4 : 0 <= h(x) car h(x) est une somme de deux racines et qu'une racine est positive.
pour tout x >0 la fonction racine est croissante, déduis-en une inégalité entre f(x) et g(x)
Compare alors f(x) + g(x) avec 2*f(x) et déduis-en l'inégalité entre h(x) et 1/2f(x) en passant à l'inverse.
Comme la limite de f(x) en (+ l'infini) est (+ l'infini) déduis-en celle de 1/2f(x) puis celle de h(x).
Pour la 1 : OK
En espérant que ces explications débloquent la situation, bon courage pour la suite.
-
Lutty
Re: Limites et fonctions
(re-)Bonsoir,
Donc si j'ai bien compris, pour le théorème des gendarmes on utilise pas g(x), mais f(x) et 1/(2f(x))...
D'accord... si c'est bien cela je ferai tout ça demain soir (date limite) et je reviendrai pour clore ou pour poser encore tout une rafale de questions ^^ sur le sujet... car je ne crois pas avoir tout compris, car on sait que o<h(x)<1/(2f(x)), je voulais utiliser f(x) qui aurait été < à 0, g(x) > 1/(2f(x) et ainsi avoir l'encadrement f(x)<h(x)<g(x)...
Merci énormément pour votre aide! Bonne soirée.
Donc si j'ai bien compris, pour le théorème des gendarmes on utilise pas g(x), mais f(x) et 1/(2f(x))...
D'accord... si c'est bien cela je ferai tout ça demain soir (date limite) et je reviendrai pour clore ou pour poser encore tout une rafale de questions ^^ sur le sujet... car je ne crois pas avoir tout compris, car on sait que o<h(x)<1/(2f(x)), je voulais utiliser f(x) qui aurait été < à 0, g(x) > 1/(2f(x) et ainsi avoir l'encadrement f(x)<h(x)<g(x)...
Merci énormément pour votre aide! Bonne soirée.
-
SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Limites et fonctions
Pour terminer ; pourquoi utiliser f(x) et g(x) pour encadrer h(x).
h(x) est compris entre 0 et 1/2f(x) et la limite de f(x) est +infinie donc cela donne la limite de h(x).
Ensuite il suffit de prendre x assez grand pour que MN soit inférieur à 0,05.
A demain
h(x) est compris entre 0 et 1/2f(x) et la limite de f(x) est +infinie donc cela donne la limite de h(x).
Ensuite il suffit de prendre x assez grand pour que MN soit inférieur à 0,05.
A demain
-
Lutty
Re: Limites et fonctions
Bonsoir,
Oui c'est bon j'ai réussi (enfin j'espère), je m'étais mélangé les pinceaux avec la définition donné dans le cours qui faisait appel à f(x) et g(x).
Donc voilà exercice enfin fini!
Merci à vous tous! ;) C'est super gentil de prendre de votre temps pour aider des élèves qui ne comprennent pas tout! :)
Bonne soirée et encore merci pour votre précieuse aide.
Oui c'est bon j'ai réussi (enfin j'espère), je m'étais mélangé les pinceaux avec la définition donné dans le cours qui faisait appel à f(x) et g(x).
Donc voilà exercice enfin fini!
Merci à vous tous! ;) C'est super gentil de prendre de votre temps pour aider des élèves qui ne comprennent pas tout! :)
Bonne soirée et encore merci pour votre précieuse aide.