Continuité, limites et sens de variation

[Coralie]

Bonjours
je viens vous voir car j'ai énormément de mal à faire mon exercice de DM
si vous pouviez m'aider

Soit g la fonction définie sur R par:
g(x) = \(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\) pour x différent de 0 et g(0)=0.
On note C sa courbe représentative.
1) Etudier la parité de g. (j'ai trouvé qu'elle est impaire)
2) Montrer que g est continue en 0. (je l'ai démontré)
3) La fonction g est elle dérivable en 0? Il s'agit ici de chercher la limite de \(\frac{g(x)-g(0)}{x}\)quand x tend vers 0. On pourra poser h=x^2
Interpréter graphiquement.
4) Déterminer les limites de g en -\(\infty\) et +\(\infty\).
Interpréter graphiquement (donc les limites sont -1 et 1 et j'ai donc dit qu'il y avait 2 asymptotes d'équation y=-1 et y=1).
5) Etudier le sens de variation de g sur [0; +\(\infty\)[.
6) Tracer la courbe C. (j'ai tracé la courbe)

Donc en fait je n'arrive pas à faire les questions 3 et 5.
Dans la question 3, faut il calculer la dérivée car on va tomber sur la definition du nombre dérivée?
Dans la question 5, faut il calculer la dérivée également? Comment étudier ce sens de variation?

J'attend votre réponse avec impatience, ayant internet que jusqu'à 15h.
Je vous remercie
Coralie

[SoS-Math(11)]

Bonjour Coralie,

Pour la question 3 : Si tu pose x² = h tu es amenée à chercher la limite de (racine(1 + h) - 1)/h quand h tend vers 0 ; Si tu remplaces 1 par racine de 1.
As-tu alors une limite qui ressemble à la détermination d'un nombre dérivé au point 1 ?
Cela peut peut être t'aider pour la question 5 où il faut le signe de la dérivée.
Bonne continuation

[Coralie]

nan justement je n'ai pas de limites!
à moins que je me trompe...

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Si f est dérivable en x0 tu sais que le nombre dérivé est égal à la limite de (f(x0+h) - f(x0))/h regarde ce qui se passe avec la fonction racine carré.

A+

[Coralie]

(f(x0+h)-f(x0))/h= 1/((racine(1+x^2)+1= 1/2 ???

[sos-math(12)]

Bonjour Coralie :
La réponse \(\frac{1}{2}\) est correcte mais ta rédaction est à revoir.

Et pour la question 5, déterminer la fonction dérivée de g et étudier son signe devrait te permettre de répondre à la question posée.

Bonne continuation.

[Coralie]

Désolée de ne pas avoir répondu plus tot mais je n'avais pas internet
je vous remercie de votre aide
Coralie