Bonsoir,
j'ai la suite : Sn = \(\sum{p=1}^{n} \frac{1} {p} - \frac{1} {p+1}\).
J'en calcule les premiers termes :
S1 = 1/2 ; S2 = 2/3 ; S3 = 3/4 ; S4 = 4/5 ; S5 = 5/6 ; S6 = 6/7.
Je conjecture alors que Sn = n/(n+1).
Mais comment le montrer ?
Suite - expression générale
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Albert
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SoS-Math(11)
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Re: Suite - expression générale
Bonsoir Albert,
Votre suite n'est pas exploitable telle que je peux la lire, c'est une somme de 1 à n de termes égaux à 1/P - 1/p+1 ?
De toute façon pour démontrer il faut faire un raisonnement par récurrence, vérifier la condition initiale H1 : S1 = 1/2
Puis démontrer l'hérédité : Si Sn = n/n+1 alors sn+1 = n+1/n+2
Essayez, et précisez-moi l'énoncé si vous ne vous en sortez pas.
Votre suite n'est pas exploitable telle que je peux la lire, c'est une somme de 1 à n de termes égaux à 1/P - 1/p+1 ?
De toute façon pour démontrer il faut faire un raisonnement par récurrence, vérifier la condition initiale H1 : S1 = 1/2
Puis démontrer l'hérédité : Si Sn = n/n+1 alors sn+1 = n+1/n+2
Essayez, et précisez-moi l'énoncé si vous ne vous en sortez pas.
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Albert
Re: Suite - expression générale
Oui les termes de la somme sont bien égaux à 1/P - 1/(P+1) j'ai eu des problèmes avec l'écriture TeX.
L'énoncé est :
n est un entier naturel non nul. et Sn = \(\sum_{p=1}^{n} \frac{1} {p(p+1}\)
1) Démontrer par récurrence que Sn = \(\frac{n} {n+1}\)
2) a) Vérifier que \(\frac{1} {p} - \frac{1} {p+1} = \frac{1} {p(p+1)}\)
b) En déduire une autre méthode pour démontrer que : Sn = \(\frac{n} {n+1}\)
Et c'est bien là mon problème :SDe toute façon pour démontrer il faut faire un raisonnement par récurrence
L'énoncé est :
n est un entier naturel non nul. et Sn = \(\sum_{p=1}^{n} \frac{1} {p(p+1}\)
1) Démontrer par récurrence que Sn = \(\frac{n} {n+1}\)
2) a) Vérifier que \(\frac{1} {p} - \frac{1} {p+1} = \frac{1} {p(p+1)}\)
b) En déduire une autre méthode pour démontrer que : Sn = \(\frac{n} {n+1}\)
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Albert
Re: Suite - expression générale
Oui l'expression de Sn est celle que vous proposez, j'ai rencontré quelques problèmes avec l'écriture TeX que je corrigerai.
Voici l'énoncé :
n est un entier naturel non nul : Sn = \(\sum_{p=1}^{n} \frac{1} {p(p+1)}\)
1) Démontrer par récurrence que Sn = \(\frac{n} {n+1}\)
2) Vérifier que \(\frac{1} {p(p+1)} = \frac{1} {p} - \frac{1} {p+1}\)
En déduire une autre méthode pour démontrer que Sn = \(\frac{n} {n+1}\)
Le problème est donc bien de trouver une alternative au raisonnement par récurrence c'est pourquoi j'avais pris la piste de la suite. Il me manque la méthode pour passer de ma conjecture à la démonstration de la forme explicite de Sn.
Et c'est bien là mon problème :S.De toute façon pour démontrer il faut faire un raisonnement par récurrence
Voici l'énoncé :
n est un entier naturel non nul : Sn = \(\sum_{p=1}^{n} \frac{1} {p(p+1)}\)
1) Démontrer par récurrence que Sn = \(\frac{n} {n+1}\)
2) Vérifier que \(\frac{1} {p(p+1)} = \frac{1} {p} - \frac{1} {p+1}\)
En déduire une autre méthode pour démontrer que Sn = \(\frac{n} {n+1}\)
Le problème est donc bien de trouver une alternative au raisonnement par récurrence c'est pourquoi j'avais pris la piste de la suite. Il me manque la méthode pour passer de ma conjecture à la démonstration de la forme explicite de Sn.
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SoS-Math(11)
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Re: Suite - expression générale
Rebonsoir,
Donc H1 est bien vérifiée.
Pour l'hérédité, si l'hypothèse de récurrence est : Sn = n/n+1
On va chercher Sn+1 :
Sn+1 peut s'écrire Sn + [(1/n+1) - (1/n+2)] en appliquant l'hypothèse de récurrence, Sn = n/n+1, et en regroupant n/n+1 avec 1/ n+1 puis en retranchant 1/n+2 on arrive à la forme voulue pour Sn+1 d'où la conclusion.
Bonne fin d'exercice
Donc H1 est bien vérifiée.
Pour l'hérédité, si l'hypothèse de récurrence est : Sn = n/n+1
On va chercher Sn+1 :
Sn+1 peut s'écrire Sn + [(1/n+1) - (1/n+2)] en appliquant l'hypothèse de récurrence, Sn = n/n+1, et en regroupant n/n+1 avec 1/ n+1 puis en retranchant 1/n+2 on arrive à la forme voulue pour Sn+1 d'où la conclusion.
Bonne fin d'exercice